第五节 正弦、余弦的诱导公式

正弦、余弦的诱导公式教学设计示例（一）

教学目标：
　　1．掌握诱导公式及其推演时过程．
　　2．会应用诱导公式，进行简单的求值或化简．
教学重点：
　　理解并掌握诱导公式．
教学难点：
　　运用诱导公式求三角函数值，化简或证明三角函数式．
教学用具：
　　三角板、圆规、投影仪．
教学过程：
1．设置情境
　　我们已经学过了诱导公式一： ， ， ，（ ），有了它就可以把任一角的三角函数求值问题，转化为 ～ 间角的三角函数值问题．那么能否再把 ～ 间的角的三角函数求值，继续化为我们熟悉的 ～ 间的角的三角函数求值问题呢？如果能的话，那么任意角的三角函数求值，都可以化归为锐角三角函数求值，并通过查表方法而得到最终解决，本课就来讨论这一问题．
2．探索研究
　　（1）出示下列投影内容
　　设 ，对于任意一个 到 的角 ，以下四种情形中有且仅有一种成立．

　　首先讨论 ，其次讨论 ， 以及 的三角函数值与 的三角函数值之间的关系，为了使讨论更具一般性，这里假定 为任意角．
（2）学习诱导公式二、三的推导过程．
　　已知任意角 的终边与单位圆相交于点 ，请同学们思考回答点 关于 轴、 轴、原点对称的三个点的坐标间的关系．
　　点 关于 轴对称点 ，关于 轴对称点 ，关于原点对称点 （可利用演示课件）．
　　图1由于 角的终边与单位圆交于 ，则 的终边就是角 终边的反向延长线，角 的终边与单位圆的交点为 ，则 是与 关于 对称的点．所以 ，又因单位圆半径 ，由正弦函数、余弦函数定义，可得
             
             
　　
　　  
于是得到一组公式（公式二）

　　我们再来研究角 与 的三角函数值之间的关系，如图2，利用单位圆作出任意角 与单位圆相交于点 ，角 的终边与单位圆相交于点 ，这两个角的终边关于 轴对称，所以      
∵
∴
　　
于是又得到一组公式（公式三） 

【例1】求下列三角函数值：
　　（1） （2） ；　
　　（3） ；（4） ．
解：（1）
　　　      　　　
（2）
　　　　　　　　 
　　　　　　　　　
（3）
　　　　　　　　
（4）
　　　　　　　　　
　　　　　　　　　
【例2】化简：
解：∵
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　
　　　
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　
∴　原式
（3）推导诱导公式四、五
　　请同学们思考如何利用已学过的诱导公式推导 ， 与 的三角函值之间的关系？由诱导公式我们可以得到
　　
　　
：
　　　　
由此可得公式四、五

　　公式一、二、三、四、五都叫做诱导公式．概括如下： ， ， ， 的三角函数值，等于 的同名函数值，前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号，简化成“函数名不变，符号看象限”的口诀．
【例3】求下列各三角函数：
　　（1） ；　　（2） ．
解：（1）
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　
　　（2）
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　 ．
　　观察以上的解题过程，请同学们总结，利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤．
学生回答后老师总结得出，在求任意角的三角函数值时一般可按以下步骤：

　　运用诱导公式解题的本质是多次运用“化归”思想方法，化负角为正角，化 到 的角为 到 间的角，再求值的过程．
3．演练反馈（投影仪）
　　（1）已知 ，求 的值
　　（2）已知 ，求 的值
　　（3）已知 ，求 的值
参考答案：
　　（1）若 为Ⅳ象限角，则
　　　　　若 为Ⅰ象限角，则
　　（2）
　　（3）∵
　　　　　
　　　　　
　　∴
4．本课小结
　　（1）求任意角的三角函数式的一般程序：负（角）变正（角）→大（角）变小（角）→（一直）变到 ～ 之间（能查表）．
　　（2）变角是有一定技巧的，如 可写成 ，也可以写成 不同表达方法，决定着使用不同的诱导公式．
　　（3）凑角方法也体现出很大技巧。如，已知角“ ”，求未知角“ ”，可把 改写成 ．
课时作业：
　　1．已知 ， 是第四象限角，则 的值是（       ）
　　A． 　　B． 　　C． 　　D．

2．下列公式正确的是（      ）
　　A． 　　B．
　　C． 　　D．
3． 的成立条件是（       ）
　　A． 为不等于 的任意角　　B．锐角
　　C． 　　　　　D． ， 且
4．在 中，下列各表达式为常数的是（       ）
　　A． 　　B．
　　C．            D．
5．化简
　　（1）
　　（2）
6．证明恒等式
　　

参考答案：
1．A；  2．D；  3．D；  4．C；  5．（1）0，（2） ；
6．左
右

正弦、余弦的诱导公式教学设计示例（二）

教学目标：
　　1．在熟练掌握诱导公式一～五的基础上，再讨论 ， 这三种形式的角的三角函数与 角的三角函数之间关系。并把之当作“新”一组诱导公式．
　　2．利用诱导公式一～五及上述“新”诱导公式解决化简、求值、恒等式证明问题．
重点难点：
　　用诱导公式解决化简、求值、恒等式证明问题．
教学用具：
　　投影仪三
教学过程：
1．设置情境
　　我们已经知道 ， ，那么 ， 能否也能直接用 的三角函数表达呢？本节课我们就 ， 这三种形式的角，讨论它们的三角函数值与 的三角函数值的关系，并把所得结果总结为一组“新”诱导公式。
2．探索研究
　　（1）设    ，则对于任意一个 到 的角 ，可以把 表达成如下形式．

　　我们已经知道， ．
　　对于 可用 ．
　　也可以

　　对于 ，可用公式二，也可以利用
　　       
　　对于 ，可用公五，也可利用
　　           
　　        
　　      
　　一般地， ， 的三角函数值，等于 的余名函数值，前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号．
　　这样，任意角的三角函数值，都可以利用两套诱导公式去求．
（2）例题分析
　　【例1】求下列三角函数值：
　　（1） ；（2）
　　解：（1）解法1：
　　解法2：
　　解法3：
　　（2）解法1：  
　　　　　　　　
　　　　　　　　
　　解法：2    
　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　
　　解法3：   
　　　　　　
　　　　　　
　　说明：公式中的 说是在 ～ 之间，事实上，这只是看法而已， 可以是任意一个角，并不影响公式成立．
　　【例2】化简
　　解：
　　　　
　　　　
　　　　
　　　　　　　　　
　　　　
　　　　
　　　　　　　　　
　　∴原式
　　【例3】设 ，（ ），求 的值．
　　解：∵          
　　　　　          
　　　　
　　∴
　　　　　
　　　　　
　　　　　
　　　　　 （∵ ）
　　　　　
　　
　　　　　　　
　　另解：
　　　　　　　　　
　　【例4】求证： ．
　　证明：∵       
　　　　　　       
　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　
　　∴左边 右边

　　3．演练反馈（投影仪）
　　（1）求值
　　①已知 ，求 的值．
　　②若 ，且 ，求
　　（2）化简：
　　① ；
　　② ．
　　③

参考答案：（1）
　　解：①∵
　　解：②∵
　　∴
　　∵
　　∴ 在第二象限
　　∴
　　由 可得
　　∴
　　（2）解：①
　　　　　　　
　　　　　　　 
　　　　　　　
　　　　　　　
　　②
　　
　　（3）分类讨论
　　 为偶数时，原式＝0
　　 为奇数时，原式＝0
　　4．总结提炼
　　本节课我们在上一节课推导出来的五个诱导公式的基础上，又进一步学习了其他三个余名函数值的三组诱导公，两套诱导公式可以概括为 的各三角函数值，当 为偶数时，得 的同名函数值；当 为奇数时，得 的余名函数值；然后在前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号，为了便于记忆，可以用口诀：“奇变偶不变，符号看象限”．灵活运用这两组诱导公式求任意角的三角函数值、化简或证明．
课时作业：
　　1．求下列三角函数值：
　　（1） ；（2）
　　2．计算： ．
　　3．已知 ，求 的值．
　　4．化简：（1） ；
　　　　　　　（2） ．
　　5．函数 的值或是（      ）
　　A．                 B．
　　C．              D．
　　6．已知 ，求证

参考答案：
1．解：（1）
　　　　　
　　　　　 
　　（2）
　　　　
2．解：原式
　　　　　
　　　　　
　　　　　
　　　　　
　　　　　
3．解：由
　　又
　　
4．（1）
　　
　　
　　
　（2）
5．B，可以归纳： ， ， ， ， ，…
6．解：同 ， ，
　　∵
　　
　　∴
说明：由诱导公式不难得出下列一组公式：
　　 ，         
　　 ，        
　　 ，       
　　 ，        
　　 ，