第三节任意角的三角函数

作者：未知来源：中央电教馆时间：2006/4/8 18:03:15阅读：nyq

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教学设计示例（一）

任意角的三角函数

教学目标：

　　1．通过对初中锐角三角函数定义的回忆，掌握任意角三角函数的定义法，并掌握用单位圆中的有向线段表示三角函数值．

　　2．掌握已知角终边上一点坐标，求四个三角函数值．（即给角求值问题）

教学重点：

　　任意角的三角函数的定义．

教学难点：

　　任意角的三角函数的定义，正弦、余弦、正切这三种三角函数的几何表示．

教学用具：

　　直尺、圆规、投影仪．

教学步骤：

1．设置情境

　　角的范围已经推广，那么对任一角是否也能像锐角一样定义其四种三角函数呢？本节课就来讨论这一问题．

2．探索研究

（1）复习回忆锐角三角函数

　　我们已经学习过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值，定义了角的正弦、余弦、正切、余切的三角函数，本节课我们研究当角是一个任意角时，其三角函数的定义及其几何表示．

（2）任意角的三角函数定义

　　如图1，设是任意角，的终边上任意一点的坐标是，当角在第一、二、三、四象限时的情形，它与原点的距离为，则．

定义：①比值叫做的正弦，记作，即．

　　②比值叫做的余弦，记作，即．

图1

　　③比值叫做的正切，记作，即．

　　同时提供显示任意角的三角函数所在象限的课件

提问：对于确定的角，这三个比值的大小和点在角的终边上的位置是否有关呢？

　　利用三角形相似的知识，可以得出对于角，这三个比值的大小与点在角的终边上的位置无关，只与角的大小有关．

　　请同学们观察当时，的终边在轴上，此时终边上任一点的横坐标都等于0，所以无意义，除此之外，对于确定的角，上面三个比值都是惟一确定的．把上面定义中三个比的前项、后项交换，那么得到另外三个定义．

　　④比值叫做的余切，记作，则．

　　⑤比值叫做的正割，记作，则．

　　⑥比值叫做的余割，记作，则．

可以看出：当时，的终边在轴上，这时的纵坐标都等于0，所以与的值不存在，当时，的值不存在，除此之外，对于确定的角，比值，，分别是一个确定的实数，所以我们把正弦、余弦，正切、余切，正割及余割都看成是以角为自变量，以比值为函数值的函数，以上六种函数统称三角函数．

（3）三角函数是以实数为自变量的函数

　　对于确定的角，如图2所示，，，分别对应的比值各是一个确定的实数，因此，正弦，余弦，正切分别可看成从一个角的集合到一个比值的集合的映射，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，当采用弧度制来度量角时，每一个确定的角有惟一确定的弧度数，这是一个实数，所以这几种三角函数也都可以看成是以实数为自变量，以比值为函数值的函数．

　　即：实数→角（其弧度数等于这个实数）→三角函数值（实数）

（4）三角函数的一种几何表示

　　利用单位圆有关的有向线段，作出正弦线，余弦线，正切线，如下图3．

图3

　　设任意角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点，过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，这条切线必然平行于轴，设它与角的终边（当为第一、四象限时）或其反向延长线（当为第二、三象限时）相交于，当角的终边不在坐标轴上时，我们把，都看成带有方向的线段，这种带方向的线段叫有向线段．由正弦、余弦、正切函数的定义有：

　　这几条与单位圆有关的有向线段叫做角的正弦线、余弦线、正切线．当角的终边在轴上时，正弦线、正切线分别变成一个点；当角的终边在轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在．

（5）例题讲评

　　【例1】已知角的终边经过，求的六个三角函数值（如图4）．

解：∵

　　∴

　　提问：若将改为，如何求的六个三角函数值呢？（分，两种情形讨论）

【例2】求下列各角的六个三角函数值

　　（1）；（2）；（3）．

解：（1）∵当时，，

　　∴ ，，

不存在，，不存在

　　（2）∵当时，，

　　∴ ，

不存在

　　（3）当时，，

　　∴

不存在不存在

【例3】作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线．（1）；（2）．

　　解：，的正弦线，余弦线，正切线分别为．

【例4】求证：当为锐角时，．

　　证明：如右图，作单位圆，当时作出正弦线和正切线，连

　　∵

　　∴

利用三角函数线还可以得出如下结论

的充要条件是为第一象限角．

的充要条件是为第三象限角．

练习（学生板演，利用投影仪）

　　（1）角的终边在直线上，求的六个三角函数值．

　　（2）角的终边经过点，求，，，的值．

　　（3）说明的理由．．

解答：

（1）先确定终边位置

　　①如在第一象限，在其上任取一点，，则

，

　　②如在第三象限，在终边上任取一点，则

，

　　（2）若，不妨令，则在第二角限

　　∴

　　（3）在终边上任取一点，因为与终边相同，故也为角终边上一点，所以成立．

　　说明：以后会知道，求三角函数值的方法有多种途径．用定义求角的三角函数值，是基本方法之一．当角终边不确定时，要首先确定终边位置，然后再在终边上取一个点来计算函数值．

3．反馈训练

（1）若角终边上有一点，则下列函数值不存在的是（）．

　　A．B．C．D．

（2）函数的定义域是（）．

　　A．B．

　　C．D．

（3）若，都有意义，则．

（4）若角的终边过点，且，则．

参考答案：（1）D；（2）B；（3）或8，说明点在半径为的圆上；（4）－6．

4．本课小结

　　利用定义求三角函数值，首先要建立直角坐标系，角顶点和始边要按既定的位置设置．角的三角函数定义式，其实是比例的化身，它的背后是相似形在支称着，不过这个定义具有一般性，如轴上角的三角函数，如果没有定义作为论据，欲求其函数性就不是很容易．

　　分类讨论（角位置）是三角函数求值过程中，使用频率非常高的一个数学思想，而分类标准往往是四个象限及四个坐标半轴．

课时作业：

1．已知角的终边经过下列各点，求角的六个三角函数值．

　　（1）（2）

2．计算

　　（1）

　　（2）

　　（3）

　　（4）

3．化简

　　（1）

　　（2）

　　（3）

　　（4）

参考答案：

1．（1），，

　　　　　，，

　　　　　，

　　（2），，

，，

，

2．（1）－2；（2）8；（3）－1；（4）

3．（1）0；（2）；（3）；（4）

教学设计示例（二）

任意角的三角函数第二课时

教学目标：

　　1．根据任意角三角函数定义，归纳出三角函数在各象限的符号，并能根据角的某种函数值符号，反馈出可能存在的象限．

　　2．掌握诱导公式一，并能运用诱导公式把角的三角函数值转化为中角的三角函数值．

教学重点：

　　终边相同的角的同一三角函数值相等．

教学难点：

　　运用诱导公式把角的三角函数值转化为中角的三角函数值．

教学用具：

　　直尺、圆规、投影仪．

教学过程

1．设置情境

　　设角均是第二象限角，依三角函数定义，为了求的四个三角函数值，只要分别在终边上取点、，由比值，，，，及，，，可知，这两组比值虽然不一定相等，但由于均在第二象限，故同号，同号，因而可见，的正弦、余弦、正切、余切值，符号是对应相同时。那么，当分别为一、三、四象限时，上述性质是否仍然成立呢？下面就可讨论这一问题．