第七节 二次根式的化简

二次根式的化简教学设计1

（第1课时）

　　一、教学目标

　　1.掌握二次根式的性质

　　

　　2.能够利用二次根式的性质化简二次根式

　　3.通过本节的学习渗透分类讨论的数学思想和方法

　　二、教学设计

　　对比、归纳、总结

　　三、重点和难点

　　1.重点：理解并掌握二次根式的性质

　　2.难点：理解式子 中的 可以取任意实数，并能根据字母的取值范围正确地化简有关的二次根式．

　　四、课时安排

　　1课时

　　五、教具学具准备

　　投影仪、胶片、多媒体

　　六、师生互动活动设计

　　复习对比，归纳整理，应用提高，以学生活动为主

　　七、教学过程

　　一、导入新课

　　我们知道，式子 （ ）表示非负数 的算术平方根．

　　问：式子 的意义是什么？被开方数中的 表示的是什么数？

　　答：式子 表示非负数 的算术平方根，即 ，且 ，从而 可以取任意实数．

　　二、新课

　　计算下列各题，并回答以下问题：

　　（1） ；　　　（2） ；　　　（3） ；

　　（4） ；　　（5） ；　（6）

　　（7） ；　（8）

　　1．各小题中被开方数的幂的底数都是什么数？

　　2．各小题的结果和相应的被开方数的幂的底数有什么关系？

　　3．用字母 表示被开方数的幂的底数，将有怎样的结论？并用语言叙述你的结论．

　　答：

　　（1） ；　（2） ；　（3） ；

　　（4） ；　（5） ；　（6）

　　（7） ；　（8） ．

　　1．（1），（2），（3）各题中的被开方数的幂的底数都是正数；（4），（5），（6），（7）各题中的被开方数的幂的底数都是负数；（8）题被开方数的幂的底数是0．

　　2．（1），（2），（3），（8）各题的计算结果和相应的被开方数的幂的底数都分别相等；（4），（5），（6），（7）各题的计算结果和相应的被开方数的幂的底数分别互为相反数．

　　3．用字母 表示（1），（2），（3），（8）各题中被开方数的幂的底数，有

　（ ），

　　用字母 表示（4），（5），（6），（7）各题中被开方数的幂的底数，有

　（ ）．

　　一个非负数的平方的算术平方根，等于这个非负数本身；一个负数的平方的算术平方根，等于这个负数的相反数．

　　问：请把上述讨论结论，用一个式子表示．（注意表示条件和结论）

　　答：

　　请同学回忆实数的绝对值的代数意义，它和上述二次根式的性质有什么联系？

　　答：

　　填空：

　　1．当 _________时， ；

　　2．当 时， ，当 时， ；

　　3．若 ，则 ________；

　　4．当 时， ．

　　答：

　　1．当 时， ；

　　2．当 时， ，

　　　当 时， ；

　　3．若 ，则 ；

　　4．当 时， ．

　　例1  化简   （ ）．

　　分析：可以利用积的算术平方根的性质及二次根式的性质化简．

　　解  ，因为 ，所以 ，所以

．

　　指出：在化简和运算过程中，把 先写成 ，再根据已知条件中 的取值范围，确定其结果．

　　例2  化简   （ ）．

　　分析：根据二次根式的性质，当 时， ．

　　解   ．

　　例3  化简：（1） （ ）；　（2） 　（ ）．

　　分析：根据二次根式的性质，当 时， ．

　　解  （1） ．

　　　　（2） ．

　　注意：（1）题中的被开方数 ，因为 ，所以 ．

　　（2）题中的被开方数 ，因为 ，所以 ．

　　这里 的取值范围，在已知条件中没有直接给出，但可以由已知条件分析而得出．

　　例4  化简 ．

　　分析：根据二次根式的性质，有

．

　　所以要比较 与3及1与 的大小以确定 及 的符号，然后再进行化简．

　　解  因为 ， ，所以

， ．

　　所以

　　　 ．

　　三、课堂练习

　　1．求下列各式的值：

　　（1） ；　　（2） ．

　　2．化简：

　　（1） ；　　（2） ；

　　（3） （ ）；　（4） 　（ ）．

　　3．化简：

　　（1） ；　　　　（2） ；

　　（3） ；　　（4） ；

　　（5） ；　（6） （ ）．

　　答案：

　　1．（1）0.1；　（2） ．

　　2．（1） ；　（2） ；　（3） ；　（4） ．

　　3．（1）4；　（2）1.5；　（3）0.09；　（4）－1；　（5）4；　（6）－1．

　　四、小结

　　1．二次根式 的意义是 ，所以 ，因此 ，其中 可以取任意实数．

　　2．化简形如 的二次根式，首先可把 写成 的形式，再根据已知条件中字母 的取值范围，确定其结果．

　　3．在化简中，注意运用题设中的隐含条件，如二次根式 有意义的条件是被开方 ，这是隐含条件．

　　五、作业

　　1．化简：

　　（1） ；　　　　（2） ；

　　（3） 　（ ）；　　（4） 　（ ）；

　　（5） ；　　　　（6） （ ， ）；

　　（7）   （ ）．

　　2．化简：

　　（1） ；

　　（2） （ ）；

　　（3） （ ， ）．

　　答案：

　　1．（1）－30；　（2） ；　（3） ；

　　（4） ；　（5） ；　（6） ；　（7） ．

　　2．（1）2；　（2）0；　（3） ．

　　

二次根式的化简教学设计2

（第1课时）

　　一、教学目标

　　1.掌握二次根式的性质

　　

　　2.能够利用二次根式的性质化简二次根式

　　3.通过本节的学习渗透分类讨论的数学思想和方法

　　二、教学设计

　　对比、归纳、总结

　　三、重点和难点

　　1.重点：理解并掌握二次根式的性质

　　

　　2.难点：理解式子 中的 可以取任意实数，并能根据字母的取值范围正确地化简有关的二次根式．

　　四、课时安排

　　1课时

　　五、教具学具准备

　　投影仪、胶片、多媒体

　　六、师生互动活动设计

　　复习对比，归纳整理，应用提高，以学生活动为主

　　七、教学步骤

　　（一）教学过程

　　【复习引入】

　　1．求值 、 、 、 …

　　求值 、 、 、 …

　　结论：当 时， ；

　　　　当 时， ．

　　2．求值 、 …

　　结论：当 时，式子有意义， ，对于 ， 不能为负数．

　　3．求值 、 …

　　结论：当 时， ．

　　问：若根号内这个式子中的底数 ，根式还有意义吗？其值等于什么？

　　例如， ，其中－2与2互为相反数； ，其中－3与3互为相反数； ，其中 与 互为相反数．

　　【讲解新课】

　　提出问题： 等于什么？引导学生讨论、猜测、联想，得到结论：

　　教师可结合学生的具体情况，将上面公式用最简练的语句表达，并反复提问中差学生，加深其印象，进一步提问：若 时， 能否等于 ，以增强学生的辨别能力，加强学生对公式的理解和记忆．

　　例1  化简：

　　（1） ；　（2） ．

　　解：（略）．

　　注： 可看作 ，把 先写为 ；

　　　 可看作 ，把 先写为 ．

　　例2  化简： ．

　　分析：底数 是非负数还是负数将直接影响结果，这时要注意条件，由条件 ，可得 ．

　　∴ ．

　　解：（略）．

　　例3  化简下列各式：

　　（1） （ ）；　（2） （ ）；

　　（3） （ ）；　（4） （ ）．

　　解：（1）∵

　　∴  ．

　　∴ 

　　　　　　　　 ．

　　（2）∵

　　∴ ，即 ．

　　∴

　　　　　　

　　　　　　 ．

　　（3）∵

　　∴ ，即 ．

　　∴

　　　　　　　

　　　　　　　 ．

　　（4）∵ ，

　　∵ ，即 ．

　　∴ ．

　　注：要从条件出发，判断根号下面式子的底数是非负数还是负数，再根据公式 计算出结果，因此在解题过程中，也是先写出条件，后进行变形，判断底数的正、负．

　　在写解题步骤上，尽量完整，以减少失误，并训练学生的逻辑思维能力．

　　（二）随堂练习

　　1．求值：

　　（1） ；（2） ；（3） （ ）；

　　（4） ；（5） ．

　　解：（1） ．

　　（2） ．

　　（3） ．

　　（4） ．

　　（5） ．

　　注： ，学生易与 相混淆．

　　2．化简：

　　（1） ；（2） ；（3） ；

　　（4） （ ）； （5） （ ）．

　　解：（1） ．

　　（2） ．

　　（3） ．

　　（4） ．

　　（5） ．

　　（三）总结、扩展

　　对公式 ，一定要在理解在基础上牢固掌握，要准确地运用公式进行二次根式的化简，关键是对根号内式子的底数的判断．

　　（四）布置作业

　　教材P213中1（2）、（3）；2（1）、（2）．

　　（五）板书设计

标  题 　1．复习题　　　　　　　4．练习题 　2．公式 　3．例题