第二节 二次根式的乘法

教学设计示例

二次根式的乘法(一)

　　一、教学目标

　　1．使学生能够利用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算．

　　2．会进行简单的二次根式的乘法运算．

　　3．使学生能联系几何课中学习的勾股定理解决实际问题．

　　4．使学生了解比较二次根式的大小的方法．

　　二、教学重点和难点

　　1．重点：会利用积的算术平方根的性质化简二次根式，会进行简单的二次根式的乘法运算．

　　2．难点：二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用．

　　三、教学方法

　　从特殊到一般总结归纳的方法，类比的方法，讲授与练习结合法．

　　四、教学手段

　　利用投影仪．

　　五、教学过程

　　(一)引入新课

　　观察下面的例子：

　　

　　

　　于是可得到：

　　又如：

　　

　　类似地可以得到：

　　

　　 (二)新课

　　积的算术平方根．

　　由前面所举特殊的例子，引导学生总结出：一般地，有 (a≥0，b≥0)．

　　积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．

　　要注意a≥0、b≥0的条件，因为只有a、b都是非负数公式才能成立，这里要启发学生为什么必须a≥0、b≥0．在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示正数，下面启发学生从运算顺序看，等号左边是将非负数a、b先做乘法求积，再开方求积的算术平方根，等号右边是先分别求a、b的两因数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的积．

　　根据这个性质可以对二次根式进行恒等变形，或将有的因式适当改变移到根号外边，或将根号外边的非负因式平方后移到根号内．

　　例1 把下面各数分解因数：

　　(1)20；　　(2)42；　　(3)63；　　(4)128．

　　说明：通过本题复习分解因数，为利用积的算术平方根公式化简二次根式打下基础．

　　解：略．

　　例2 化简：

　　（1） 　　（2）

　　（3） 　　　（4）

　　分析：本题需要用积的算术平方根公式进行化简，题目中的被开方数都是具体数字，学生便于理解，在讲完例2后可以总结化简的方法．

　　解：（1）

　　（2）

　　（3）

　　（4）

　　说明：① (a≥0，b≥0)可以推广为 (a≥0，b≥0，c≥0)．

　　②这个小题与本章章头图与章序言的内容有联系，解答了章序言中提出的一个问题．

　　③ (4)小题要首先用平方差公式分解成积的形式，才可以用积的算术平方根公式进行化简．

　　④通过例2可以看出，如果一个二次根式的被开方数中有的因式(或因数)能开得尽方，可以利用积的算术平方根的性质，将这些因式(或因数)开出来，从而将二次根式化简．

　　通过例2，我们根据算术平方根的定义，可得出： ， ， 等结果，于是可以总结出：一般地，有

　　 （a≥0）

　　关于a＜0时， ，这种情况将在本章最后一小节专门研究.

　　例3 化简：

　　（1） ；　　（2）

　　分析：由例3，让学生注意，在本章中，未加特别说明时，字母一般表示正数，但在实际问题中不一定非是正数不可，如第(1)小题，a可以是负数，根据学生实际情况，可适当引导学生展开小组的讨论，渗透分类讨论的思想．

　　解：（1）

　　（2）

　　说明：x²+y²这个式子不能再开方了，进一步强调积的算术平方根公式的特点．

　　例4 如右图，在△ABC中，∠C=90°，4C=10cm，BC=24cm．求AB．

　　解：∵  AB²=AC²+BC²

　　∴

　　 (cm)

　　答：AB长26cm．

　　(三)小结

　　1．本节课讲了积的算术平方根的性质

　　 (a≥0，b≥0)．

　　通过分式的应用，让学生进一步总结，为什么必须有a≥0、b≥0这个条件，而没有这个条件上述性质不成立．

　　问学生：当a＜0，b＜0， 也有意义，为什么一定要a≥0、b≥0呢？

　　引导学生说出：若a＜0，b＜0， ， 在实数范围内没有意义. 公式显然不成立．

　　2．利用积的算术平方根的性质，化简二次根式的方法．

　　3．结合几何课学习的勾股定理，提高学生解决实际问题的能力．

　　(四)练习

　　 1．  化简：

　　（1） ；　　　（2） ；

　　（3） ；　　　　（4） ；

　　（5） ;　　　　(6) ；

　　（7） ；　　（8）

　　 2．  计算：

　　（1） ；　　（2） ；

　　（3） ；　　（4）

　　3．已知一个直角三角形的斜边c=21，一条直角边b＝4，求另一条直角边a．

　　六、作业

　　教材P．177习题11．2； A组1、2、3、4、5．

　　七、板书设计

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