第四节 二项式定理

教学建议

（一）教材分析

1．知识结构

2．重点难点分析

　　重点是二项式定理与二项式系数的性质．难点是二项式定理的证明和应用．

　　本节知识对组合数及性质得到深化和应用，对多项式的变形起到复习，深化的作用，又与概率统计中二项分布有其内在联系．

　　(1)二项式定理是代数公式 和 的概括和推广，它是以乘法公式为基础，以组合知识为工具，用不完全归纳法得到的，其证明可用数学归纳法．

　　对二项式定理的理解和掌握，要从项数、系数、指数、通项等方面的特征去熟悉他的展开式．通项公式 在解题时应用较多，因而显得尤其重要，但必须注意，它是 的二项式展开式的第 项，而不是第 项．

　　（2）二项展开式有如下特点：

　　①项数：共有 项；

　　②系数：依次为 ，这里 称为二项式系数．二项式系数与二项展开式系数是有区别的．

　　③指数： 指数和为 ； 的指数由 依次递减到0， 的指数依次由0递增到 ．

　　（3）对通项要注意以下几点：

　　①它表示二项展开式中的任意项，只要 和 确定，此项也随之确定．

　　②公式表示二项展开式中的第 项，而不是第 项．

　　③公式中 的位置不能颠倒，它们的系数和一定为 ．

　　另外，要注意展开式的第 项的二项式系数 与第 项的系数是不同的概念．

　　（3）二项式系数的性质

　　利用“杨辉三角”可以帮助我们观察二项式系数的性质．从函数角度入手，研究一下二项式系数．

　　 展开式的二项式系数是 ，从函数的角度看 可以看成是以r为自变量的函数 ，其定义域是 ．

　　根据组合公式 来研究二项式系数性质．

　　①对称性

　　与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上这一性质可以由 直接得到．

　　②增减性与最大值

　　如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．

　　由于展开式各项的二项式系数顺次是：

　　

　　其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如n，n－1，n－2，…），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…），因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当k依次取1，2，3…时， 的值即各项的二项式系数从开始起是逐次增大．原因在于此时 （即 ），而当 （即 ）时， 的值转化为不递增或递减了，又因为与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时逐渐减小了，且二项式系数最大的项必在中间．

　　当n是偶数时， 是奇数，展开式共有 项，这时展开式形式是

　　中间一项是第 项，它的二项式系数是 ，它是所有的二项式系数中的最大者．

　　当n是奇数时， 是偶数，展开式共有 项，这时展开式形式是

　　中间两项是第 、 项，它们的二项式系数是 、 ，这两个系数相等，并且是所有二项式系数中的最大者．

　　③二项式系数和

　　 源于 的展开式，即： 中，令 ，即得到 ．

　　这个公式的推导过程运用了“赋值法”，即对任意的a，b展开式都成立，当然对特殊的值 ，展开式也一定成立．

　　 在求集合的所有子集的个数时得以应用．

　　奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数的和，即：

．

　　 中，令 ，得到上式．

（二）教法建议

　　1．由于二项式定理是组合知识和多项式知识的结合，所以在引入时，可以从以前学过的平方和与立方和公式出发，让学生从已有的知识中结合现在刚学习过的排列组合知识来分析，从而引入二项式定理，教学时可结合初中代数公式和多项式乘法的基础，以组合知识为工具，从中发现规律，让学生领悟从“特殊到一般”的思想方法，即归纳法，但证明过程不要讲解．

　　2．教学中注意相似概念的讲解，二项式的性质应用常涉及“项”，“项数”，“二项式系数”，“系数”等容易混淆的一些概念，这些在教学中一定要注意给学生解释清楚．

　　3．讲授二项式系数时，应抓住“杨辉三角”这一题材，对学生进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感和为国富民强而勤奋学习的热情，并利用“杨辉三角”进一步解释组合数性质 ．

　　4．讲解二项式系数的性质时，应注意两个思想方法．一是利用函数图像研究二项式系数对称性和增减性的数形结合的思想方法，二是通过“取特例”从一个关系式得到另一关系式的化归的思想方法．

　　5．在运用二项式定理解决某些问题时，有时可对二项展开式中的 “取特值”而得到答案．事实上，二项式定理给出的是一个等式，对于 的一切值都成立，因此对一些特定的值当然也成立．对 赋予一些特定的值，是解决二项式问题的一种重要思想方法，教学中要注意培养学生的这种的思维方法．