第二节 子集、全集、补集

1．教材分析

　　（1）知识结构
　　本节的教学内容分为两部分，第一部分是子集，介绍了子集、真子集及两个集合相等的概念，说明了任何一个集合是它本身的子集，空集是任何一个集合的子集．
　　第二部分是全集、补集．给出了全集、补集的意义，说明了如何求出一个给定的集合在全集中的补集．
　　（2）重点、难点分析
　　①本小节的重点是子集、补集的概念．
　　子集概念是本章在介绍了集合概念后，从讨论集合与集合之间的包含与相等地关系入手，给出了子集的概念的．
　　正确理解子集的概念有助于理解与子集有关的全集、补集的概念，由于学生是刚开始接触集合的符号表示，所以子集和真子集的符号要提醒学生注意这些符号地方向不要搞错．
　　补集的概念是在子集、全集的概念之后给出的，子集的概念是涉及两个集合之间关系，而补集是涉及三个集合之间的特定关系，在讲解补集概念时还可以加深子集的概念．
　　正确运用子集、补集的概念，是用集合观点分析、解决问题的重要内容，学好它们，可以为学生进一步学习交集，并集的概念以及集合的其他初步知识打好基础，同时，可以使学生更好地理解数学中出现的集合语言，更好地使用集合语言表述数学问题，更好地运用集合的观点研究、处理数学问题．
　　②本节的难点是弄清元素与子集，属于与包含之间的区别．
　　学生在第一节集合概念学习中，刚刚接触了元素与集合之间的属于关系，现在又出现了子集、集合和集合之间的包含关系概念，由于对概念的本质认识不深刻，初学者容易弄混这些概念，在使用符号 ， 表示时经常混用．
　　这是因为学生在学习中接触了比较多的新概念，新符号，而这两组概念，符号比较容易混淆，这些因素可能给学生学习带来困难，因此在教学中引进符号时，应说明其意义，强调本质区别在与个体与整体、整体与整体的关系，并通过例题、习题，使集合与元素的概念多次出现，结合错例分析，使属于与包含的符号反复使用，以培养学生正确应用概念和使用术语、符号的能力．

2．教法建议

　　（1）从具体到抽象，从特殊到一般，充分利用图形的直观，引进概念、阐明概念的意义
　　子集、真子集、补集这些重要概念的教学，首先可以通过一些实例（可以用由数字组成的集合）来引入，并分析它们各自所具有的特征，然后把它一般化，概括出定义，其次，可以充分利用文氏图的直观性，形象地说明真子集、补集，这样处理，学生对这些概念就容易接受，而且还可以通过对图形的观察，发现这些概念所具有的某些重要性质．如包含关系的传递性．但是，应注意，由特殊事例归纳出一般结论的举例最好尽可能地把各种具有代表性的情况都列举出来．例如子集、真子集、集合的相等，可以通过考察三个集合：

间的关系来引入．
　　（2）概念、术语的意义要讲清，语言表述要确切；对于容易混淆的概念，要抓住不同点，培养学生的判断能力．
　　例如，“A是B的子集”，意思是A的任何一个元素都是B的元素，即由任一 ，可以推出 ，但不能把A是B的子集解释成A是由B中部分元素所组成的集合．因为B的子集也包括它本身，而这个子集是由B的全体元素组成的．
　　空集也是B的子集，而这个集合中并不含有B中的元素．由此也可看到，把A是B的真子集解释成A是由B的部分元素组成的集合也是不确切的．正确的说法应该把真子集的两个特征：“A是B的子集”和“B中至少有一个元素不属于A”都指出．
　　“空集是任何集合的子集”这句话是正确的，但是把空集说成说成是任何集合的真子集就不确切．因为空集是它本身的子集．正确的说法是“空集是任何非空集合的真子集”．总之，对于概念的解释，语言表达必须确切．
　　再如，“ _AB是A在全集B中的补集”，不能把它简单地说成 _AB是A的补集，因为补集的概念是相对而言的，集合A在不同的全集中的补集是不同的，所以在描述补集概念时，一定要注明是在哪个集合中的补集，简单的说集合A的补集是没有意义的．

（3）要明确有关数学符号、记号的意义，正确加以使用

　　本单元中引进的数学符号、记号比较多，初学者往往不善于使用，对此教学中必须在每一符号引进时，说明其意义，配备适当的例题、习题，逐步让学生熟悉这些符号，正确地运用这些符号．
　　例如，属于符号“ ”、不属于符号“ ”，它们只能用在元素与集合符号之间；包含关系“ ”“ ”、包含于（被包含）符号“ ”或“ ”，它们只能用在两个集合符号之间．对此，必须引起学生充分注意，不能用错，不要出现把 表示成 ，或 之类的错误．
　　又如， 是含有一个元素的集合， 是不含任何元素的集合，因此，有 ，不能写成 ， ．
　　关于子集与真子集的记法，教科书中采用的是新的国家标准，与原教科书不尽相同，应该注意．
　　关于补集，新的国家标准规定，集合A中子集B的补集或余集记为 ，如果行文中集合A已经很明确，则常常可以省去符号A，而记为 B．