第四节 一元一次方程的应用

教学建议

　　一、教学目标

　　1．能说出列一元一次方程解应用题的步骤；

　　2．能列出一元一次方程解简单的应用题；

　　3．能够发现、提出日常生活或生产中可以利用一元一次方程来解决的实际问题，并正确地表述问题及其解决过程；

　　4．通过列一元一次方程解应用题，培养学生分析问题、解决问题的能力．

　　二、重点、难点分析

　　本节重点是根据应用题题意列出方程，而这同时又是难点，学习中应注意以下几点：

　　1．正确列出方程的关键在于弄清题意，找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系，并列出代数式表示这个相等关系的左边和右边．

　　“找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系”就是说题目中的每个条件都应该利用一次（不漏）并且只能利用一次（不重复利用）．寻求等量关系的情况一般有三种：①从有关数量比较的关键字句中发现等量关系，并以文字形式写出（如大、小、多、少、倍、分等）；②借助基本数量关系，沟通不同量之间的关系，（如路程=速度X时间等）；③注意变化中的不变量，寻找隐含的等量关系（如溶液稀释前后的溶质不变等）

　　2．在设未知数和书写答案时如果有单位，必须带单位，同一式中的各量单位要统一．

　　3．未知数一旦设出，就可以把它看作已知数和其它已知条件一样参与列代教式．

　　4．要准确解和掌握几种常见问题的数量关系．

　　（1）和差倍分问题

　　这类问题主要是正确理解“是几倍”、“增加了几倍”、“增加到几倍”、“多”、“少”、“大”、“小”、“不足”、“剩余”等关键词语的意义．

　　（2）行程问题

　　行程问题有三个基本量：路程、速度、时间，关系式为：路程=速度×时间； ； ，必须熟练掌握．

　　（3）工程问题

　　工程问题有三个基本量：工作量、工作时间、工作效率，其基本关系为：工作量=工作效率×工作时间； ．一般情况下把全部工作量看作1．

　　（4）浓度问题

　　浓度问题主要涉及四个基本量：溶液质量、溶质质量、溶剂质量；溶液百分比浓度，基本关系有：溶液质量=溶质质量+溶剂质量； ，溶质质量=百分比浓度×溶液质量．

　　（5）水上（空中）问题．

　　此类问题主要涉及四个量：静水船速、水速、逆水船速、顺水船速．基本关系为：顺水船速=静水船速+水速；逆水船速=静水船速－水速．

　　（6）数字问题

　　有关数字问题，要注意一个数的表示方法．如一个四位数，个位上的数字是 ，十位上的数字是 ，百位上的数字是 ，千位上的数字是 ，则这个四粒数可表示为： 等．

　　（7）增长率问题（降低率）

　　增长率问题有三个基本量：净增量、基础量、增长率，基本关系有： ； .

　　三、知识结构

　　本小节由易到难安排了8道通过列出一元一次方程来解决的应用题．通过本小节的教学，要把学生学过的有关知识应用于实际；要使学生初步使用代数中的方程去反映现实世界中的相等关系，并逐步体会代数方法的优越性；要向学生渗透把未知转化为已知的辩证思想，培养学生分析问题和解决问题的能力，同时通过应用题的内容，向学生介绍我国社会主义改革和建设的成就，介绍我国古代数学家对一元一次方程的研究，向学生进行爱国主义教育．

　　四、教法建议

　　1．学生初学列方程解应用题时，首先要仔细审题，弄清题意，找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系，但分析的过程可以只写在草稿纸上．在写解的过程时，应先设未知数，再根据相等关系列出需要的代数式，把相等关系表示成方程形式．然后解这个方程，并写出答案．在设未知数时，如果有单位，必须写在字母后面．

　　在对题目进行分析时，重点应放在如何找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系．

　　如果找不出这样的相等关系，方程就列不出来；反过来，在找出这样的相等关系后，将其中涉及的待求的某个数设成未知数，其余的数用已知数或含有已知数与未知数的代数式表示出

　　来，方程就列出来了．

　　2．学生在列方程解应用题时主要存在三个方面的困难：

　　（1）抓不住相等关系；

　　（2）找出相等关系后不会列方程；

　　（3）习惯于用算术解法，对用代数方法分析应用题不适应，不知道要抓相等关系．

　　解决这三个困难时，重点应放在第一个．解决第三个困难，应在本小节的教学中反复告诉学生：有些问题用算术解法是不方便的，最好用代数解法；只要找出相等关系，用等式表示出来，就列出了方程；再利用解方程的方法，就可求出未知数的值．

　　3．由于学生在分析问题时思路（包括选择未知数）不同，列出的方程也可能不一样：有的简，有的繁；有的则是同一个方程的不同形式，可以利用等式的性质，把其中一种形式变到另一种形式去．应该告诉学生，尽管由于大家思路木同，得出的方程表面上不一样，但只要思路正确，所列方程合理，那么，得出的应用题的答案总是一样的．当然，教师应鼓励学生选择合理的思路，使得方程尽可能简单一些．

　　4．行程中的追及问题．这类问题也比较直观，画出直线型示意图比较便于分析．

　　有的追及问题不宜利用直线型示意图来进行分析．例如某中学在周长为400米的环形跑道上进行万米长跑比赛，那么每名运动员要跑25圈．起跑时大家站在同一条起跑线上，设甲跑得最快，乙跑得最慢．当运动员起跑后，由于都是沿着环形跑道跑，所以发生了一个有趣的现象：当甲与乙拉开距离后，不是后面的乙去追前面的甲，而是前面的甲去追后面的乙；当甲追上乙后，甲就比己多跑了～圈（400米）．这400米当然要体现在追及问题的方程之中．像这类奇特的现象，用圆形（或环形）示意图来表示就比较理想．所以示意图画法也要根据题目灵活选择．

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