如何计算实验结果的绝对误差

　　下面的例子说明如何计算实验结果的绝对误差，从而正确表达实验结果。乍看，过程似乎复杂冗长，这是因为如何处理的每一步骤的说明也包含在其中。一般说来，数学处理过程的说明，往往比数学处理过程要长。

　　例：试计算电热法测定水的比热容实验的误差。

　　观测结果：

　　电流强度I……2．50±0．05A

　　线圈的电阻R……11．36±0．01Ω

　　铜容器的质量m′……52±1g

　　铜容器和水的质量（m′＋m）……225……±1g

　　水的初温θ₁……10．6±0．2℃

　　水的终温θ₂……38．7±0．3℃

　　通电加热时间t……298．0±0．5S

　　铜的比热容C′取0．4J·g^－1·℃^－1

　　计算：先不考虑误差，用下式计算水的比热容C

　　式中m是水的质量，从上列数据中易知m为173±2g，把数值代入式中有

　　该结果是用计算器求得的。为便于计算，这数值用四舍六入法则先化整为四位有效数，再次化整要在误差范围计算出来后进行。

　　关于结果的误差范围的分析如下：

　　我们先讨论这一项。下表给出了数据的实际误差和百分误差。先求出实际误差，再用通常的办法将实际误差换算成百分误差。

　　在C的表达式中，I为平方项，I²的百分误差为I的百分误差的两倍。的百分误差是：（2×2＋0＋0．17＋1．16＋1．78）％，即7．11％，与之相应的实际误差是4．352的7．11％、即±0．309。

　　同样地讨论m′c′／m项，列表如下：

　　由表可知，第二项的百分误差是1．92＋1．16，即3．08％，相应的实际误差为0．120×3．08％，即±0．004。

　　把两项的实际误差相加就得出最后结果的实际误差。这样，最后误差为±（0．309＋0．004）、即±0．313，就是说，最终结果应表示为（4．2±0．3）J·g^－1·℃^－1。这就是说，用绝对误差决定有效数字是解决有效数字问题的总的原则和依据。即不管是什么运算，如果给出了各个量的误差，就一律先算误差，然后再用误差来决定有效数字的位数。

　　我们对这个结果作两点说明：

　　（i）假如不考虑误差，并采用对数运算（或用冗长的算术），我们也许会把实验结果写为4．232J·g^－1·℃^－1，但这是不可信的，因为我们所求得的值（用有效数字的位数给出），比所用仪器实际上能达到的准确度高得多。很清楚，如果不考虑误差问题．就不可能得到实验的可信的结果。

　　（ii）最终结果的百分误差－7．4％中，约4％产生于观测电流的误差。其部分原因是计算式合I的平方幂次，使电流的误差加大了一倍，另一个原因是电流I只能测量到2％的精确度。实验工作者在分析误差以改进实验结果时，应考虑如何提高最不准确的观测量的准确度。本例中主要是提高观测电流的准确度，这可以改用一只精度更高的安培计来实现。