考前回归知识必备

*1 集合与常用逻辑用语

集合与常用逻辑用语

集合

概念

一组对象的全体.
。

元素特点：互异性、无序性、确定性。







关系

子集


。


；

个元素集合子集数
。









真子集













相等











运算

交集













并集













补集









常用逻辑用语

命题

概念

能够判断真假的语句。









四种

命题

原命题：若
，则

原命题与逆命题，否命题与逆否命题互逆；原命题与否命题、逆命题与逆否命题互否；原命题与逆否命题、否命题与逆命题互为逆否。互为逆否的命题等价。











逆命题：若
，则













否命题：若
，则













逆否命题：若
，则









充要

条件

充分条件


，
是
的充分条件

若命题
对应集合
，命题
对应集合
，则
等价于
，
等价于
。









必要条件


，
是
的必要条件











充要条件


，
互为充要条件









逻辑

连接词

或命题


，
有一为真即为真，
均为假时才为假。

类比集合的并









且命题


，
均为真时才为真，
有一为假即为假。

类比集合的交









非命题


和
为一真一假两个互为对立的命题。

类比集合的补







量词

全称量词


，含全称量词的命题叫全称命题，其否定为特称命题。









存在量词


，含存在量词的命题叫特称命题，其否定为全称命题。





*2.复数

复数

概念

虚数单位

规定：
；实数可以与它进行四则运算，并且运算时原有的加、乘运算律仍成立。
。









复数

形如
的数叫做复数，
叫做复数的实部，
叫做复数的虚部。
时叫虚数、
时叫纯虚数。









复数相等











共轭复数

实部相等，虚部互为相反数。即
，则
。







运算

加减法


，
。









乘法


，









除法









几何意义

复数

复平面内的点

向量

向量
的模叫做复数的模，





3.平面向量

平面向量

重要概念

向量

既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段的长度叫做该向量的模。








向量

长度为
，方向任意的向量。【
与任一非零向量共线】







平行向量

方向相同或者相反的两个非零向量叫做平行向量，也叫共线向量。







向量夹角

起点放在一点的两向量所成的角，范围是
。
的夹角记为
。







投影


，
叫做
在
方向上的投影。【注意：投影是数量】





重要法则定理

基本定理


不共线，存在唯一的实数对
，使
。若
为
轴上的单位正交向量，
就是向量
的坐标。









一般表示

坐标表示（向量坐标上下文理解）







共线条件


（
共线
存在唯一实数
，









垂直条件


。


。





各种运算

加法

运算

法则


的平行四边形法则、三角形法则。


。









算律


，

与加法运算有同样的坐标表示。







减法

运算

法则


的三角形法则。











分解


。


。







数乘

运算

概念


为向量，
与
方向相同，

与
方向相反，
。


。









算律


，
，

与数乘运算有同样的坐标表示。







数量积运算

概念




。









主要性质


，
。


，









算律


，
，

。

与上面的数量积、数乘等具有同样的坐标表示方法。





*4.算法、推理与证明

算法

逻辑结构

顺序结构

依次执行



程序框图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形。







条件结构

根据条件是否成立有不同的流向











循环结构

按照一定条件反复执行某些步骤









基本语句

输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句。



推理与

证明

推理

合情推理

归纳推理

由部分具有某种特征推断整体具有某种特征的推理。









类比推理

由一类对象具有的特征推断与之相似对象的某种特征的推理。







演绎推理

根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊性命题为真的推理．





数学证明

直接证明

综合法

由已知导向结论的证明方法。









分析法

由结论反推已知的证明方法。







间接证明

主要是反证法，反设结论、导出矛盾的证明方法。





*5.不等式、线性规划

不等式的性质

（1）
；

两个实数的顺序关系：





（2）
；







（3）
；







（4）
；










的充要条件是
。





（5）
；







（6）





一元二次不等式

解一元二次不等式实际上就是求出对应的一元二次方程的实数根（如果有实数根），再结合对应的函数的图象确定其大于零或者小于零的区间，在含有字母参数的不等式中还要根据参数的不同取值确定方程根的大小以及函数图象的开口方向，从而确定不等式的解集．



基本

不等式



（
）


（
）；
（
）；
≤
≤
≤
（
）；
。



二元一次不等式组

二元一次不等式
的解集是平面直角坐标系中表示
某一侧所有点组成的平面区域。二元一次不等式组的解集是指各个不等式解集所表示的平面区域的公共部分。



简单的

线性规划

基本

概念

约束条件

对变量
的制约条件。如果是
的一次式，则称线性约束条件







目标函数

求解的最优问题的表达式。如果是
的一次式，则称线性目标函数。







可行解

满足线性约束条件的解
叫可行解。







可行域

所有可行解组成的集合叫可行域。







最优解

使目标函数取得最大值或者最小值的可行解叫最优解。







线性规划

在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或者最大值的问题。





问题

解法

不含

实际背景

第一步

画出可行域。

注意区域

边界的虚实。









第二步

根据目标函数几何意义确定最优解。











第三步

求出目标函数的最值。









含

实际背景

第一步

设置两个变量，建立约束条件和目标函数。

注意实际问题对变量的限制。









第二步

同不含实际背景的解法步骤。







*6.函数﹑基本初等函数I的图像与性质

函数概念及其表示

概念

本质：定义域内任何一个自变量对应唯一的函数值。两函数相等只要定义域和对应法则相同即可。





表示方法

解析式法、表格法、图象法。分段函数是一个函数，其定义域是各段定义域的并集、值域是各段值域的并集。





性质

单调性

对定义域内一个区间
，
，

是增函数
，

是减函数
。

偶函数在定义域关于坐标原点对称的区间上具有相反的单调性、奇函数在定义域关于坐标原点对称的区间上具有相同的单调性。







奇偶性

对定义域内任意
，
是偶函数
，
是奇函数

。偶函数图象关于
轴对称、奇函数图象关于坐标原点对称。









周期性

对定义域内任意
，存在非零常数
，



基本初等函数Ⅰ

指数函数




单调递减，
时
，
时

函数图象过定点










单调递增，
时
，
时







对数函数



在
单调递减，
时
，
时

函数图象过定点









在
单调递增，
时
，
时







幂函数



在在
单调递增，图象过坐标原点

函数图象过定点









在在
单调递减







*7. 函数与方程﹑函数模型及其应用

函数零点

概念

方程
的实数根。方程
有实数根
函数
的图象与
轴有交点
函数
有零点．





存在定理

图象在
上连续不断，若
，则
在
内存在零点。



二分法

方法

对于在区间
上连续不断且
的函数
，通过不断把函数
的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．





步骤

第一步

确定区间
，验证
，给定精确度
。







第二步

求区间
的中点
；







第三步

计算
：（1）若
，则
就是函数的零点；（2）若
，则令
（此时零点
）；（3）若
，则令
（此时零点
）．（4）判断是否达到精确度
即若
，则得到零点近似值
（或
）；否则重复（2）～（4）．



函数建模

概念

把实际问表达的数量变化规律用函数关系刻画出来的方法叫作函数建模。







解题步骤

阅读审题

分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题。







数学建模

弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式。







解答模型

利用数学方法得出函数模型的数学结果。







解释模型

将数学问题的结果转译成实际问题作出答案。





*8. 导数及其应用

导数及其应用

概念与几何意义

概念

函数
在点
处的导数
。







几何

意义


为曲线
在点
处的切线斜率，切线方程是
。





运算

基本

公式


（
为常数）；
；

；

（
，且
）；

（
，且
）．


；

。