浙江省杭州四中2013届高三第九次教学质检数学文试题

考生须知：

1．本试卷分试题卷和答题卷，满分150分，考试时间120分钟。

2．答题前，在答题卷密封区内，填写学号、姓名、试场号、座位号。

3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效。

4．考试结束，只上交答题卷。

一、选择题（本题满分50分，共10道小题，每小题5分）

1．在复平面内，复数
（i是虚数单位）所对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2. 已知集合
，
，那么“
”是“
”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.不充分也不必要条件

3．已知等差数列
中，
，那么

A.
B.
C.
D.

4．若
，
，则下列不等式正确的是

A.
B.
C.
D.

5.在数列
中，
，
，
．为计算这个数列前10项的和，现给出该问题算法的程序框图（如图所示），则图中判断框（1）处合适的语句是

A．
B．

C．
D．

6．若存在负实数使得方程
成立，则实数的取值范围是

A．
B.

C.
D.

7．直线
与圆
相交于A,B两点(其中
是实数),且
是直角三角形(O是坐标原点),则点P
与点
之间距离的最大值为

A
B. C.
D.

8．已知函数
（
）定义域为
，则
的图像不可能是

9．设
，则
的最小值是

A．2 B.4 C.
D.5

10.已知F1,F2分别是双曲线C:
(a,b>0)的左右焦点,B是虚轴的端点,直线F1B与曲

线C的两条渐近线分别交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF2|=|F1F2|,

则曲线C的离心率是

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本题满分28分，共7小题，每小题4分）

11．一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为

　▲　．

12.如图，三行三列的方阵中有9个数
，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是　▲　．

13．
中，向量
与
的夹角为
，
，则
的取值范围是　▲　．

14．实数
满足
，且
，则
　▲　．

15. 在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，三边a、b、c成等差数列，且B=
，则cosA-cosC的值为　▲　．

16.已知函数
，定义函数
给出下列命题：①
； ②函数
是奇函数；③当
时，若
，
，总有
成立，其中所有正确命题的序号是　▲　．

17．已知函数
是定义在上的增函数，函数
的图象关于点(1, 0)对称. 若对任意的
，不等式
恒成立，则当＞3时，
的取值范围是　▲　

三、解答题（本题满分72分，本大题共5小题）

18. （本小题满分14分）

已知函数
.

(1)求
的最小正周期和最小值;

(2)已知
,求
的值.

19.（本小题满分14分）

数列
满足
，
．

（1）求
的表达式；

（2）令
，求
．

20.（本小题满分14分）

如图，在四棱锥
中，
平面
，
平面
，
，
．

（1）求证：平面
平面
；

（2）求二面角
的大小．

21. （本小题满分15分）

已知函数
.

（1）若函数
上是减函数，求实数的最小值；

（2）若存在
，使
（
）成立，求实数
的取值范围.

22. （本小题满分15分）

如图,已知抛物线
的焦点为F，过F的直线交抛物线于M、N两点，其准线
与x轴交于K点.

（1）求证：KF平分∠MKN；

（2）O为坐标原点，直线MO、NO分别交准线于点P、Q，求
的最小值.

数学答案（文科）

一、选择题：（每小题5分，共50分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

B

B

D

D

C

C

A

D

B

C



二、填空题 （4×7=28分）

11.
12.
13.
14.0 15.
16.②③ 17. (13, 49)

三．解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

18. （本小题满分14分）解:(1)

…………………3分

的最小值为-2. ……………7分

(2)由已知得

两式相加得
…………….10分

……………..12分

…………………….14分

19. （本小题满分14分）（1）由
得：
，两式作差得：
，

于是
是首项
，公差为的等差数列，那么
，

且
是首项
，公差为的等差数列，那么
，

综上可知：
． ……8分

（2）

…12分

． …14分

20（本小题满分14分）(1)证明：取BE的中点O，AE的中点F，连OC，OF，DF，则2OF
BA

∵AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，∴2CD
BA，

∴OF
CD，∴OC∥FD

∵BC=CE，∴OC⊥BE，又AB⊥平面BCE.

∴OC⊥平面ABE. ∴FD⊥平面ABE.

从而平面ADE⊥平面ABE. ………………7分

(2)二面角A—EB—D与二面角F—EB—D相等，

由(Ⅰ)知二面角F—EB—D的平面角为∠FOD。

BC=CE=2,∠BCE=1200，OC⊥BE得BO=OE=
，OC=1，

∴OFDC为正方形，∴∠FOD=
，

∴二面角A—EB—D的大小为
． ……………………14分

21. （本小题满分15分）解：（1）因f(x)在
上为减函数，故
在
上恒成立．…1分

所以当
时，
．………………2分

又

，………4分

故当
，即
时，
．

所以
于是
，故a的最小值为
． …………………………6分

（2）命题“若
使
成立”等价于

“当
时，有
”．

由（1），当
时，
，
．

问题等价于：“当
时，有
”． ………………………8分

当
时，
≤0,
在
上为减函数，

则
=
，故
． ………10分…

当0<
时，
>0,由于

在
上为增函数，

故
的值域为
，即
．…………….12分

由
的单调性和值域知，唯一
，使
，且满足：

当
时，
，
为减函数；当
时，
，
为增函数；

由
=
，
．

所以，
，与
矛盾，不合题意．

综上，得
． ……………..15分

22. （本小题满分15分）解：（1）抛物线焦点坐标为
，准线方程为
…………….2分

设直线MN的方程为
。设M、N的坐标分别为

由
, ∴
……..4分

设KM和KN的斜率分别为
，显然只需证
即可. ∵

∴
……………………6分

（2）设M、N的坐标分别为
，由M，O，P三点共线可求出P点的坐标为
，由N，O，Q三点共线可求出Q点坐标为
，…………7分

设直线MN的方程为
。由

∴
则

……………9分

又直线MN的倾斜角为
，则

∴

….10分

同理可得
……..13分

(
时取到等号) ……… …..15分