2016—2017学年度上学期月考试题

高三数学（理）

考试时间：120分钟 试卷分数：150分

卷Ⅰ

一、选择题：（本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）

1．已知集合
则
（ ）

A．[2,3] B．( -2,3 ] C．[1,2) D．

2. 设命题
,则
为　 (　　)

A.
B.

C.
D.

3. 已知
分别是定义在
上的偶函数和奇函数，且
，则
( )

A.
B.
C. 1 D. 3

4. 对于任意实数
总有
，且
在区间
上是增函数，则 ( ) A.
B.

C.
D.

5. 函数
的定义域是 （ ）

A. [4，+∞） B.[3，+∞） C .（4，+∞） D . （3，+∞）

6. 已知命题

；命题
，则下列命题中为真命题的是 （ ）

A. p∧q B.￢p∧q C.p∧￢q D.￢p∧￢q

7. 已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布
，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（附：若随机变量ξ服从正态分布
，则
，
。） （ ）

A．4.56% B.13.59% C.27.18% D.31.74%

8. 已知函数
，若对于区间
上的任意实数
，都有
，则实数
的最小值是 （ ）

A．20 B.18 C.3 D.0

9. 已知函数
的定义域为R.当
时，
；当
时，
；当
时，
.则
= ( )

A．?2 B.?1 C. 0 D.2

10.已知函数
，若
，则实数
的值等于 ( )

A．3 B．－3 C．1 D．－1

11. 已知函数
在定义域
内可导，其图像如图所示，记
的导函数为
，则不等式
的解集为

A.
B.

C.
D.

12. 已知函数
，
，若对于任一实数
，
与
至少有一个为正数，则实数
的取值范围是 （ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷(非选择题，共90分)

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）

1

2

3

4

5





2

7

8

12





13．已知
、
的取值如右表：

从散点图分析，
与
线性相关，且回归方程为
=3.5
-1.3则
= ；

14. 已知函数
，且直线
与曲线
相切．则
的值为

15. 如图，点
的坐标为
，点
的坐标为
，函数
，若在矩形
内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 ．

16. 已知函数
，若函数
有2个零点，则

实数
的取值范围是___ ．

三、解答题（17题10,其余每题12分）

17.已知
是定义在(－4,4)上的奇函数，且它在定义域内单调递减，若
满足
，求实数
的取值范围．

18.已知函数

（1）若
在
处取得极大值，是否存在极小值？若存在求出极小值.若不存在说明理由；

（2）若函数
在
上单调，求
的取值范围.

19. 已知集合A=
，
若命题
，命题
，并且
是
的充分条件，求实数
的取值范围.

20. 已知函数

(1)若
，求函数
的零点；

(2)若函数
在[－1，＋∞)上为增函数，求
的取值范围．

21.甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．

(1)求随机变量ξ的分布列和数学期望；

(2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB)．

22. 已知函数

（I）若函数
在
时取到极值，求实数
的值；

（II）试讨论函数
的单调性；

（III）当
时，在曲线
上是否存在这样的两点A，B，使得在点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，若存在，试求
的取值范围；若不存在，请说明理由．

一、BCCDA,BBADB,AB

13、17 14、0 15、
16、
或

17、解： 由定义域可知

所以
……4分

原式可得
，因为是奇函数，

所以
，因为递减所以
，即：
…8分

综上：
…10分

18、解：（1）
, 得a=1. …………2分

得
=x2+2x－3，令
=0，得x=－3, 或x=1, ……4分

在
上
，在
上，
，所以可知在
处有极小值，
……6分

（2）因为单调，所以
或者

，当
时，
，不符题意…..8分

当
时，
表示二次函数，
或者
，所以与
轴有一个交点或者没有交点，所以
至多一个根，所以
所以
…12分

19、解：由
，配方得
.因为x∈
，所以ymin=
，ymax=2，即
，所以A=
.由x+m2≥1，得x≥1-m2，B={x|x≥1-m2}.

因为p是q的充分条件，所以A
B，

所以
，解得m≥
或m≤-
.故实数m的取值范围是
∪
.

20、解： (1)当a＝1时，由x－＝0，x2＋2x＝0，

得零点为，0，－2.——4

(2)显然，函数g(x)＝x－在[，＋∞)上递增，——6

且g()＝－；

函数h(x)＝x2＋2x＋a－1在[－1，]上也递增，——10

且h()＝a＋.

故若函数f(x)在[－1，＋∞)上为增函数，

则a＋≤－，∴a≤－.

故a的取值范围为(－∞，－]．——12

21、解 (1)解法1：由题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3，且

P(ξ＝0)＝C×(1－)3＝，

P(ξ＝1)＝C××(1－)2＝，

ξ

0

1

2

3



P











P(ξ＝2)＝C×()2×(1－)＝，

P(ξ＝3)＝C×()3＝.

所以ξ的分布列为

即ξ的数学期望为

E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2. ...6分

解法2：根据题设可知，ξ～B(3，)，

因此ξ的分布列为

P(ξ＝k)＝C×()k×(1－)3－k

＝C×，k＝0,1,2,3.

因为ξ～B(3，)，所以E(ξ)＝3×＝2.

(2)解法1：用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB＝C∪D，且C、D互斥，又

P(C)＝C×()2×(1－)×[××＋××＋××]＝，

P(D)＝C×()3×(××)＝，

由互斥事件的概率公式得

P(AB)＝P(C)＋P(D)＝＋＝＝. ...12分

22、解：
（
）

（I）∵函数
在
时取到极值

∴
解得

经检验
函数
在
时取到极小值

∴实数
的值－2 …3分

（2）由
得
或

①当
时，

由
得

由
得

∴函数
得单调增区间为
，单调减区间为

②当
时，
，同理可得函数
得单调增区间为
，单调减区间为
… 7分

（3）假设存在满足要求的两点A，B，即在点A、B处的切线都与y轴垂直，则
即
解得
或

∴A
,B

又线段AB与x轴有公共点，∴
，

即
又
，解得

所以当
时，存在满足要求的点A、 B． …12分

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