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枣庄三中2016～2017学年度高三年级第一学期学情调查

数学（理）试题 2016．10

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。共4页。满分150分。考试用时120分钟。答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考号、班级填写在答题纸规定的位置。考试结束后，将答题纸交回。

第I卷（共50分）

一、选择题：本题包括10小题，每小题5分，共50分，每小题只有一个选项正确。

1．已知集合
，若
，则
的真子集个数为（　　）

A． 5 B． 6

7 D． 8

2．已知集合
，则集合
（　　）

A．
B．

C．
D．

3．定义在
上的偶函数
满足：
，在区间
与
上分别递增和递减，则不等式
的解集为（　　）

A．
B．

C．
D．

4．已知函数
，在下列区间中，包含
零点的区间是（　　）

A．
B．

C．
D．

5．命题“
且
”的否定形式是（　　）

A．
且
B．
或

C．
且
D．
或

6．下列命题不正确的个数是（　　）

①若函数
在
及
上都是减函数，则
在
上是减函数；

②命题
或
，命题
则
是
的必要不充分条件；

③函数
是非奇非偶函数；

④若命题“
使得
”为假命题，则实数
的取值范围是
．

A． 1 B． 2

C． 3 D． 4

7．若
,
,则（　　）

A．
B．

C．
D．

8． 已知函数
，若
，则
等于（　　）

A．
B．

C．2 D．4

9． 已知函数
的图象如右图所示，则
的解析式可以是（　　）

A．
B．

C．
D．

10．设函数
在R上存在导函数
,对于任意的实数
，都有
，当
时，
．若
，则实数
的取值范围是（　　）

A．
B．

C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。请将答案填在答题卡中相应横线上。

11．计算：
．

12．已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为 ．

13．已知函数
满足
，若函数
与
图像的交点为
则
．

14．设
和
是定义在同一个区间
上的两个函数，若函数
在
上有两个不同的零点，则称
和
在
上是“关联函数”，区间
称为“关联区间”．若
与
在
上是“关联函数”，则
的取值范围是 ．

15．设函数

，
．若存在实数
，使得函数
恰有3个零点，则实数
的取值范围为 ．

三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，只写出最后答案的不能得分。

16．（本小题满分12分）

已知条件
；条件
若
是
的充分非必要条件，试求实数
的取值范围．

17．（本小题满分12分）已知命题
：若存在正数
使
成立，命题
：函数
值域为R，如果p∧q是假命题，p∨q真命题，求实数
的取值范围．

18．（本小题满分12分）设函数
是定义在
上的减函数，并且满足
，
．

（1）求
和
的值；

（2）如果
，求
的取值范围．

19．（本小题满分12分）已知
R，函数
=
．

（1）当
时，解不等式
>1；

（2）若关于
的方程
+
=0的解集中恰有一个元素，求
的值；

（3）设
>0，若对任意

，函数
在区间
上的最大值与最小值的差不超过1，求
的取值范围．

20．（本小题满分13分）已知函数
．

(1)求函数
的极值点；

(2)若函数
在区间[2,6]内有极值，求
的取值范围．

21．（本小题满分14分）已知函数
,
．

（1）若曲线
在点
处的切线斜率为
，求实数
的值；

（2）若
在
有两个零点，求
的取值范围；

（3）当
时，证明：
．

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数学（理）试题 2016．10

参考答案

1----10 CDDCD CBCAA

11.
12.
13.
14.
15.

16. 解：条件
中不等式解得
………………3分

条件
不等式解得
………………6分

由
是
的充分非必要条件，可以推出
是
的充分非必要条件，

画数轴得到不等式组
，………………9分

解得
. ………………12分

17.

解： 当
为真时，由题意可得，
(
)．

令f(x)＝
，该函数在
上为增函数，可知f(x)的值域为
，故a＞
时，存在正数x使原不等式成立………………3分

当
为真时，应有
………………5分

由p∧q是假命题，p∨q真命题知
、
一真一假

当
为真
为假时，应有
，此时无解，………………8分

当
为假
为真时，应有
解得
或
………………11分

综上
或
………………12分

18.

解：（1）令
，得
………………1分

由
得

，
………………3分

………………5分

（2）∴
，………………7分

又由
是定义在
上的减函数，得：

………………10分

解之得：
.………………12分

19.

（1）由
得
解得
………………2分

（2）方程
+
=0的解集中恰有一个元素

等价于
仅有一解，

等价于
仅有一解，………………4分

当
时，
，符合题意；

当
时，
，解得

综上：
或
………………6分

（3）当
时，
，
，

所以
在
上单调递减．………………8分

函数
在区间
上的最大值与最小值分别为
，
．

即
，对任意
成立．………………10分

因为
，所以函数
在区间
上单调递增，

所以
时，
有最小值
，由
，得
．4

故
的取值范围为
．………………12分

20.

(1)因为f(x)＝x2－2ax＋4ln x，所以f(x)的定义域为(0，＋∞)，

f′(x)＝x－2a＋
＝

令f′(x)＝0，即x2－2ax＋4＝0，则
＝4（a2－4）………………1分

①若a2－4≤0，即－2≤a≤2时，f′(x)≥0，且
时仅有一根

所以当－2≤a≤2时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极值点………………3分

②若a2－4>0，即a<－2或a>2时，方程x2－2ax＋4＝0的解为
，
.

(ⅰ)当a>2时，0<
<
.

所以f(x)的单调递增区间为
和
，

单调递减区间为
.

所以f(x)的极大值点为
，f(x)的极小值点为
………………5分

(ⅱ)当a<－2时，
<0，
<0.

所以当a<－2时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极值点.

综上，当a≤2时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极值点；

当a>2时，f(x)的极大值点为
，f(x)的极小值点为
.………………8分

(2)因为函数f(x)在区间[2,6]内有极值，

所以f′(x)＝0在区间[2,6]内有解，所以x2－2ax＋4＝0在区间[2,6]内有解，

所以2a＝x＋
在区间[2,6]内有解. ………………10分

设h(x)＝x＋
，对x∈[2,6]，h′(x)＝1－
＝
，且仅有h′(2)=0

所以h(x)在[2,6]内单调递增.所以h(x)∈
………………12分

故a的取值范围为
.………………13分

21.

（Ⅰ）解：因为
，所以
.

因为曲线
在点
处的切线斜率为
，所以
，

解得
.…………2分

（Ⅱ））解：原题等价于方程
在
有两个不同根.

转化为，函数
与函数
的图像在
上有两个不同交点.

又
，即
时，
，
时，
，

所以
在
上单调增，在
上单调减.从而

……………4分

又
有且只有一个零点是1，且在
时，
，在在
时，
，

可见，要想函数
与函数
的图像在
上有两个不同交点，

所以
. ………………7分

（Ⅲ）证明：因为
,
，

当
时，要证
，只需证明

设
，则