2016年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第六次适应性训练

数学（理）

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．设复数
满足
，则
（ ）

A．1 B．
C．
D．2

2．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）

A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石

3．设
，则“
”是“
”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4. 已知圆
：
，直线
：
，则（ ）

A．
与
相离 B．
与
相切

C．
与
相交 D．以上三个选项均有可能

5．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）

A．
B.
C.
D.

6．已知三棱锥
的所有顶点都在球
的球面上，
是边长为
的正三角形，
为球
的直径，且
，则此三棱锥的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

7．
的三内角
所对边长分别是
，若
，则角
的大小为（ ）

A．
B．
C．
D．

8．某企业生产甲乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）

A．12万元 B．16万元 C．17万元 D．18万元

甲

乙

原料限额



A（吨）

3

2

12



B（吨）

1

2

8



9．设命题P：
且
，则
是（ ）

A.
且
B.
或

C.
且
D.
或

10．在一块并排10垄的田地中，选择3垄分别种植A,B,C三种作物，每种作物种植一垄。为有利于作物生长，要求任意两种作物的间隔不小于2垄，则不同的种植方法共有（ ）

A．180种 B．120种 C．108种 D．90种

11．已知
为平面内两定点,过该平面内动点
作直线
的垂线,垂足为
.若
,其中
为常数,则动点
的轨迹不可能是

A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线

12．设函数
是奇函数
的导函数，
，当
时，
，则使得
成立的
的取值范围是（ ）

A．
B．

C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二．填空题：把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．执行右图所示的程序框图，输出结果
的值是 ．

14.
的展开式中，
的系数为 .

15．如图，点
的坐标为
，点
的坐标为
，函数
，若在矩形
内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 .

16．在平面直角坐标系
中,设定点
（
）,
是函数
(
)图象上一动点,若点
之间的最短距离为
,则满足条件的正实数
的值为 .

三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共70分）．

17．(本小题满分12分)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束。

（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；

（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设
表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求
的分布列和数学期望.

18．(本小题满分12分)已知数列
各项均为正数，且
，
．

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
,数列
的前
项和为
,求证:
.

19．（本小题满分12分）如图，已知四棱台
的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，
，且
底面
，点
分别在棱
上。

（1）若
是
的中点，证明：
；

（2）若
平面
，二面角
的余弦值为
，求四面体
的体积．

20．（本小题共12分）已知抛物线：
的焦点
在双曲线：
的右准线上，抛物线与直线
交于
两点，
的延长线与抛物线交于
两点．

（1）求抛物线的方程；

（2）若
的面积等于
，求
的值；

（3）记直线
的斜率为
，证明：
为定值，并求出该定值．

21．(本小题满分12分)已知函数
（
）

（1）求
的最小值；

（2）若
，判断方程
在区间
内实数解的个数；

（3）证明：对任意给定的
，总存在正数
，使得当
时，恒有
．

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22．（本小题满分10分）选修4 - 1：几何证明选讲

如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与ΔABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点。

（1）证明：EF∥BC；

（2）若AG等于⊙O的半径，且
，求四边形EBCF的面积.

23．（本小题满分10分）选修4 - 4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，曲线C1：
（t为参数，t ≠ 0），其中0 ≤ α < π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：
，C3：
．

（1）求C2与C3交点的直角坐标；

（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求
的最大值．

24．（本小题满分10分）选修4 - 5：不等式选讲

设a，b，c，d均为正数，且a + b = c + d，证明：

（1）若
，则
；

（2）若
，则
．

2016年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第六次适应性训练

数学（理）参考答案

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共12小题，每小题5分，共60分）.

1. A 2．B 3．A 4．C　 5. D 6. A

7．B 8．D 9．D 10．B 11. C 12. A

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二． 填空题：把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．1 14. 30 15．
16．

三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共70分）．

17. 解：（1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件
，

……………4分

（2）
的可能取值为200,300,400

故
的分布列为

200

300

400














……………12分

18．解：（1）由已知得：

∵
各项均为正数，∴

∴数列
是首项为1，公差为1的等差数列,

∴
. ……………6分

(2)由（1）知

当
时

……………12分

19．由题设知，
两两垂直，以
为坐标原点，
所在直线分别为
轴，
轴，
轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为

，

其中
……………2分

（1）若
是
的中点，则
，

又
，

于是
，

所以
，即
……………6分

（2）由题设知，
是平面
内的两个不共线向量。

设
是平面
的一个法向量，

则
即

取
。又平面
的一个法向量是
，所以

解得
，或
（舍去），此时

设
，而
，由此得点
，

所以

因为
平面
，且平面
的一个法向量是
，

所以
，即
，得
，从而

故四面体
的体积

……………12分

20．解：（1）双曲线：
的右准线方程为：

所以
，则抛物线的方程为：
……………4分

（2）设

由
得

解得
………8分

（3）设
则

因为
共线，所以
即

解得：
（舍）或
所以
同理

, 故
（定值）……………12分

21.解：（1）

当
时，
，当
时，
，

所以
在
单调递减，在
单调递增，

从而
……………4分

（2）
时，

因为
，
，且
的图像是连续的，

所以
在区间
内有实数解，从而在区间
内有实数解；

又当
时，
，所以
在
上单调递减，

从而
在区间
内至多有一个实数解，

故
在区间
内有唯一实数解. ……………8分

证明：由（1）知：

所以
时，
①

由
得：

所以
时，
②

由①