2016年常德市高三年级模拟考试

数学（理工农医类）

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．

1．设全集
，集合
，则
＝

A．
B．{1} C．{1,2} D．{1,2,3}

2． 设
是虚数单位，
表示复数z的共轭复数．若
，则复数
在复平面内对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．已知向量a，b均为单位向量，它们的夹角为
，则|a＋b|＝

A．1 B．
C．
D．2

4．已知随机变量
，若
，则

A．
B．
C．
D．

5．已知函数

，则

A．
B．
C．
D．

6．右边程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的

“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“m MOD n”表示

除以
的余数），若输入的
，
分别为495，135，则输

出的
=

A．0 B．5 C．45 D．90

7．已知3件次品和2件正品放在一起，现需要通过检测将其

区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，则第一次

检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率为

A．
B．
C．
D．

8．已知圆C：
上存在两点关于直线
：

对称，经过点
作圆的两条切线，切

点分别为
，
，则

A．3 B．
C．
D．

9． 函数
是

A．最小正周期为
的奇函数 B．最小正周期为
的偶函数

C．最小正周期为
的奇函数 D．最小正周期为
的偶函数

10．不等式组
的解集记为D，
，

有下面四个命题：

p1：
，
p2：
，

p3：
，
p4：
，

其中的真命题是

A．p1，p2 B．p1，p3

C．p1，p4 D．p2，p3

11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为

A．
B．

C．
D．

12．已知
为自然对数的底数，若对任意的
，总存在唯一的
，使得
成立，则实数
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

第II卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．

13．已知定义在R上的函数
满足
，当
时，
，则
．

14．已知
，则
．

15．已知双曲线
(a＞0，b＞0)的左顶点为
，右焦点为
，过
的直线
与双曲线交于A，B两点，且满足：
，
，则该双曲线的离心率是________．

16．在四边形ABCD中，
,
,
,
,则
的最大值为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共70分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

已知数列
前
项和为
，且满足
．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）令
，
为
的前
项和，求证：
．

18．（本小题满分12分）

某机构为了解某地区中学生在校月消费情况，随机抽取了100名中学生进行调查．右图是根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图：

已知[350,450），[450,550），[550,650）三个金额段的学生人数成等差数列，将月消费金额不低于550元的学生称为“高消费群”．

（Ⅰ）求m，n的值，并求这100名学生月消费金额的样本平均数
（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（Ⅱ）现采用分层抽样的方式从月消费金额落在[350,450），[550,650）内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高消费群”的学生人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．

19．（本小题满分12分）

如图所示的几何体中，
为三棱柱，且
平面
，四边形
为平行四边形，
．

（Ⅰ）若
，求证：
平面
；

（Ⅱ）若
，二面角
的

余弦值为
，求三棱锥
的体积．

20．（本小题满分12分）

已知椭圆
：
的离心率为
，焦距为
，抛物线
：
的焦点
是椭圆
的顶点．

（Ⅰ）求
与
的标准方程；

（Ⅱ）
上不同于
的两点
，
满足
，且直线
与
相切，求
的面积．

21．（本小题满分12分）

已知函数
，曲线
在点
处的切线与直线
垂直（其中
为自然对数的底数）．

（Ⅰ）求
的解析式及单调减区间；

（Ⅱ）若函数
无零点，求
的取值范围．

请考生在第22，23，24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，已知
，圆
是
的外接圆，
，
是圆
的直径．过点
作圆
的切线交
的延长线于点
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）若
,
，求
的面积．

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知曲线
的参数方程是
（
为参数），以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
，
的极坐标分别为
，
．

（Ⅰ）求直线
的直角坐标方程；

（Ⅱ）设
为曲线
上的动点，求点
到直线
距离的最大值．

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数
.

（Ⅰ）求不等式
的解集；

（Ⅱ）若关于
的不等式
有解，求
的取值范围.

2016年常德市高三年级模拟考试

数学（理科）参考答案

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．

1．B 2．C 3．A 4．C 5．D 6．C 7．B 8．D 9．A 10．D 11．C 12．B

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.

13．4 14．64 15．2 16．8

三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（Ⅰ）由
，令
，可得：
； ……………2分

当
时，可得

………4分

所以数列
是首项为
，公比为
的等比数列，

故：
=
…………6分

（Ⅱ）
，
=
…………8分

…………11分

=
=

…………12分

18．（1）由题意知
且

故
……………………3分

所求平均数为：

（元）…5分

（2）由题意从
中抽取7人，从
中抽取3人………………7分

随机变量X的取值所有可能取值有0,1,2,3

……………………9分

所以，随机变量X的分布列为

X

0

1

2

3



P











随机变量X的数学期望E(X)=
……12分

19．（Ⅰ）证明：连接
交
于
，因为
，又
平面
，所

以
，所以
为正方形，所以
， ……………2分

在
中，
,由余弦定理得
，

所以
,所以

所以
，又
. 所以
平面
,所以
，

所以
平面
. …………6分

（Ⅱ）如图建立直角坐标系，则
，

,

设平面
的法向量为
，由

解得
，所以
，……8分

设平面
的法向量为
，

由
得

解得
，

，………9分

由

得
，………10分

所以
，此时，
，

所以
…………………12分

20．解：（I）设椭圆
的焦距为
，依题意有
，
，

解得
，
，故椭圆
的标准方程为
. ………………3分

又抛物线
：
开口向上，故
是椭圆
的上顶点，
，

，故抛物线
的标准方程为
. ……………………5分

（II