洛阳市第一高级中学高三理科数学模拟试卷

组题人：王玮琪 审题人：李桂芳

一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.（王玮琪供题）

1.已知复数
为虚数单位),则

2.设
,则
是
的

充分不必要条件
必要不充分条件
充要条件
既不充分也不必要条件

3.执行如下程序框图,则输出结果为

4.已知函数①
②
，③
，④
的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的一组是

①④②③
①④③②
④①②③
③④②①

5.已知
，则
等于

6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

7.已知
分别为双曲线
的左、右焦点,过
作双曲线的渐近线的垂线，垂足为
,则

8.已知函数
的定义域为
,值域为
，则
的值不可能是

9.已知
是两个不同的平面，
是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是

若
，则

若
，则

若
，则

若
，
，
，则

10.在
中，内角
所对的边分别为
，
，
，则

11.设
为抛物线
的焦点，
为该抛物线上不同的三点，
，
为坐标原点，且
的面积分别为
，则

12.如果函数
在区间
上存在
，满足
，
，则称函数
是区间
上的“双中值函数”.已知函数
是区间
上的“双中值函数”，则实数
的取值范围是

二、填空题:本题共4个小题，每小题5分，共20分.（王玮琪供题）

13.设
满足约束条件
，则
的取值范围为_______.

14.安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为_______.

15.如图，直角梯形
中，
，
，

动点
在边
上，且满足
均为正实数)，则
的最小值为_______．

16.已知函数
，当
时，
，则实数
的取值范围是_____．

三、解答题:本大题共6个小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分12分) （段俊霞供题）

已知数列
的前
项和为
，
，且满足

.

(1)证明数列
为等差数列； (2)求
.

18.(本小题满分12分) (孟应兵供题)

如图(1)，等腰直角三角形
的底边
，点
在线段
上，
于
，现将
沿
折起到
的位置（如图(2)）．

(1)求证：
；

(2)若
，直线
与平面
所成的角为
，求
长．

19.(本小题满分12分)(秦文春供题)

4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查，下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书谜”，低于60分钟的学生称为“非读书谜”

(1)根据已知条件完成下面2×2的列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书谜”与性别有关？

非读书迷

读书迷

合计



男



15





女





45



合计









(2)将频率视为概率，现在从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书谜”的人数为
，若每次抽取的结果是相互独立的，求
的分布列，期望
和方差
.

附：
.

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001





2.706

3.841

5.024

6.635

10.828





20.(本小题满分12分)（李桂芳供题）

已知两动圆
和
，把它们的公共点的轨迹记为曲线
，若曲线
与
轴的正半轴的交点为
，且曲线
上的相异两点
满足：
．

(1)求曲线
的方程；(2)证明直线
恒经过一定点，并求此定点的坐标；

(3)求
面积
的最大值．

21. (本小题满分12分)(王玮琪供题)

设函数
为自然对数的底数.

(1)若曲线
在点
处的切线方程为
，求实数
的值；

(2)当
时，若存在
，使
成立，求实数
的最小值.

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，在直角
中，
，
为
边上异于
的一点，以
为直径作圆
，并分别交
于点
.

(1)证明：
四点共圆；

(2)若
为
的中点，且
，求
的长.

23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系
中，已知直线
的参数方程为
为参数，
)，以原点
为极点，以
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为

(1)写出直线
的极坐标方程和曲线
的直角坐标方程；

(2)若直线
与曲线
相交于
两点，求
的值.

24.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲

设函数
．

(1)证明:
；(2)若不等式
的解集非空，求
的取值范围．

洛阳一高第二次综合模拟理科数学参考答案

一、选择题

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12





























二、填空题

13.
14.
15.
16.

三、解答题

17.(1) 证明：由条件可知，
，即
， …2分

整理得
， …4分

所以数列
是以1为首项，1为公差的等差数列. …5分

(2) 由(1)可知，
，即
， …6分

令

① …7分

② …9分

①②，
， …11分

整理得
. …12分

18.(1)
. …2分

又
平面
. …4分

平面
，
. …5分

(2)由(1)知
，且
，所以
两两垂直.分别以
的方向为
轴、
轴、
轴的正方向建立空间直角坐标系. …6分

设
，则
，
，
，
，可得

. …7分

设平面
的法向量为
，则
，

所以
，取
. …9分

直线
与平面
所成的角为
,且
，

. …11分

解之得
，或
（舍去）.

所以
的长为
. …12分

19.(1)完成下面的2×2列联表如下

非读书迷

读书迷

合计



男

40

15

55



女

20

25

45



 合计

60

40

100



…3分

.

,
有99%的把握认为“读书迷”与性别有关. …6分

(2)视频率为概率．则从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率为
．由题意可知

,
. …8分

从而分布列为

0

1

2

3















…10分

. …12分

20.(1)设两动圆的公共点为Q，则有
．由椭圆的定义可知
的轨迹为椭圆，
．所以曲线
的方程是：
．

(2)证法一：由题意可知：
，设
，
，

当
的斜率不存在时，易知满足条件
的直线
为：
过定点

当
的斜率存在时，设直线
：
，联立方程组：

，把②代入①有：

③，
④，

因为
，所以有
，

，把③④代入整理：

，(有公因式m－1)继续化简得：

，
或
(舍)，

综合斜率不存在的情况，直线
恒过定点
．

证法二：(先猜后证)由题意可知：
，设
，
，

如果直线
恒经过一定点，由椭圆的对称性可猜测此定点在
轴上，设为
；

取特殊直线
，则直线