2015年2月

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共2页。满分150分，考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷以及答题卡和答题纸一并交回。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在试卷、答题卡和答题纸规定的地方。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分

1. 设复数满足
，其中为虚数单位，则=( )

A．
B．
C．
D．

2. 集合
则
( )

A．（1，2） B．[1,2） C．(1,2] D．[1,2]

3. 已知
，
，
，则
的大小关系是（ ）

A.
B.
C.
　 D.

4. 设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)，n∈N，则f2 013(x)＝(　　)

A．sinx B．－sinx C．cosx D．－cosx

5. 已知f(x)是定义在R上的周期为2的周期函数，当x∈[0,1)时，f(x)＝4x－1，则f(－5.5)的值为(　　)

A．2 B．－1 C．－
D．1

6.若△ABC的一个内角为120°，且三边长构成公差为4的等差数列，则三角形的面积为(　　)

A．12 B．15 C．12 D．15

7. 已知变量x,y满足
则
的最小值是(　　)

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

8. 执行右面的程序框图，算法执行完毕后，输出的S为(　　)

A．8 B．63 C．92 D．129

9. 函数
满足
且定义域为R，当
时,

,当
时,
,则f(1)+f(2)+f(3) +…

+f (2013) =（　　）

A． 338 B．337 C．1678 D．2013

10. 双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左顶点与抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为(　　)．

A．2 B．2 C．4 D．4

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题:本大题共5小题， 每小题5分，共25分

11 . 过抛物线
的焦点的直线交抛物线于
两点，点
是坐标原点，若
，则△
的面积为_______

12. 已知向量a=(3,1)，b=(1,3)，c=(k,7)，若（a - c）∥b，则k =______

13. 已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x＋θ)，
，且函数f(x)是偶函数，则θ的值为______

14. 半径为R的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，圆柱的侧面积与球的表面积之比是______

15. 已知函数

，设
，若
，则
的取值范围是_____

三、解答题：本大题共6小题，共75分

16．（本小题满分12分）

已知函数
的最小正周期为．

(1)求值及
的单调递增区间；

(2)在△
中，a、b、c分别是三个内角A、B、C所对边，若
，
，
，求的大小．

17．（本小题满分12分）

设平面向量a＝(m,1)，b＝(2，n)，其中m，n∈{1,2,3,4}．

(1)请列出有序数组 (m，n)的所有可能结果；

(2)若“使得向量a与向量(a－b)垂直成立的(m，n)”为事件A ，求事件A发生的概率．

18. （本小题满分12分）

如图所示是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形．

(1)若N是BC的中点，证明：AN∥平面CME；

(2)证明：平面BDE⊥平面BCD

19. （本小题满分12分）

等差数列
的前项和为
；等比数列
中，
．若
，
（1）求
与
；

（2）设
，数列
的前项和为
．若对一切
不等式
恒成立，求
的最大值．

20. （本小题满分13分）

已知函数f（x）=
，a为常数

（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；

（2）若函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，求a的取值范围．

21. （本小题满分14分）

已知椭圆
：
的左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为2的正方形．

（1）求椭圆
的方程；

（2）过点
的直线
与椭圆
相交于，两点．

点
，记直线
的斜率分别为
，当

最大时，求直线
的方程．

高三期末考试数学（文）试题

参考答案

选择题（本大题共12小题，每小题5分，共50分）

二、填空题:本大题共5小题， 每小题5分，共25分

11.
12. 5 13.  14. 1：2 15. [，2)

三.解答题

16. 解：

17.解：

(1)有序数组(m，n)的所有可能结果为

(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个

(2)由a⊥(a－b)，得m2－2m＋1－n＝0，

即n＝(m－1)2，由于m，n∈{1,2,3,4}，

故事件A包含的基本事件为(2,1)和(3,4)，共2个，

又基本事件的总数为16，

故所求的概率为P(A)＝＝

18.解：(1)连接MN，则MN∥CD，AE∥CD，

又MN＝AE＝CD，∴四边形ANME为平行四边形，

∴AN∥EM.∵AN?平面CME，EM?平面CME，∴AN∥平面CME.

(2)∵AC＝AB，N是BC的中点，AN⊥BC，

又平面ABC⊥平面BCD，∴AN⊥平面BCD.

由(1)，知AN∥EM，∴EM⊥平面BCD.又EM?平面BDE，

∴平面BDE⊥平面BCD.

19.解：（1）设等差数列
的公差为
，等比数列
的公比为，

则
，由题意得：
，……………2分

解得
，……………4分 ∴
……………6分

（2） ∵

∵
是递增数列，∴
的最小值为
， ……………11分

又∵
恒成立，∴
，故所求的
的最大值为
……………12分

20. （1）当a=1时，f（x）=
，则f（x）的定义域是

。

由
，得0＜x＜1；由
，得x＞1；

∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，
上是减函数

（2）
。若函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，

则
或
在区间[1，2]上恒成立。

∴
，或
在区间[1，2]上恒成立。即
，或
在区间[1，2]上恒成立。

又h（x）=
在区间[1，2]上是增函数。h（x）max=（2）=
，h（x）min=h（1）=3

即

，或
。 ∴

，或

21. （Ⅰ）由已知得
（2分）又
，

∴椭圆
方程为

（
18.解：(1)连接MN，则MN∥CD，AE∥CD，

又MN＝AE＝CD，∴四边形ANME为平行四边形，

∴AN∥EM.∵AN?平面CME，EM?平面CME，∴AN∥平面CME.

(2)∵AC＝AB，N是BC的中点，AN⊥BC，

又平面ABC⊥平面BCD，∴AN⊥平面BCD.

由(1)，知AN∥EM，∴EM⊥平面BCD.又EM?平面BDE，

∴平面BDE⊥平面BCD.