2014年秋期期终高三数学试卷（理）参考答案

一、选择题：DABBC ADCDD BC

二、填空题：13、20 14、
15、
16、③④⑤

三、解答题：

17、解：（Ⅰ）

　　　　　

相减，得

…………………………………………………2分

又

又
，即
，解得

又
，故

，故数列
为首项，2为公差的等差数列，

故

易知
，
……………………………………6分

（Ⅱ）
…………………………………………8分

恒成立，

即
对
恒成立

令
，则

故
时，
，
时，
，

最大
……………………………………………12分

18．解：（Ⅰ）设A1表示事件“日车流量不低于10万辆”，A2表示事件“日车流量低于5万辆”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日车流量不低于10万辆且另1天车流量低于5万辆”．则

P(A1)＝0.35＋0.25＋0.10＝0.70，P(A2)＝0.05，

所以P(B)＝0.7×0.7×0.05×2＝0.049. ……………………………………………（6分）

（Ⅱ）
可能取的值为0，1，2，3，相应的概率分别为

，
，

，
.

X的分布列为

X

0

1

2

3



P

0.027

0.189

0.441

0.343



因为X～B(3，0.7)，所以期望E(X)＝3×0.7＝2.1. ……………………………（12分）

19. 解：（Ⅰ）∵AD // BC，BC=
AD，Q为AD的中点，

∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD // BQ ．

∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD．

又∵平面PAD⊥平面ABCD 且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴BQ⊥平面PAD．

∵BQ平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD． …………………………6分

另证：AD // BC，BC=
AD，Q为AD的中点，

∴ 四边形BCDQ为平行四边形，∴CD // BQ ．

∵ ∠ADC=90° ∴∠AQB=90°． ∵ PA=PD， ∴PQ⊥AD．

∵ PQ∩BQ=Q， ∴AD⊥平面PBQ．

∵ AD平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．………………………6分

（Ⅱ）∵PA=PD，Q为AD的中点， ∴PQ⊥AD．

∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴PQ⊥平面ABCD．

如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．

则平面BQC的法向量为
；

，
，
，
．

设
，则
，

，

∵
，

M在棱PC上，∴t>0

∴
， 　　　∴
　　　 …………………9分

在平面MBQ中，
，
，

∴ 平面MBQ法向量为
．

∵二面角M-BQ-C为30°， ∴
，

∴
．……………………………………………………12分

20．解：（Ⅰ）由已知可得
解得a2＝6，b2＝2.

所以椭圆C的标准方程是
. ……………………………………………（4分）

（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）可得，F点的坐标是(2，0).

设直线PQ的方程为x＝my+2，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得

消去x，得(m2＋3)y2+4my－2＝0，其判别式Δ＝16m2＋8(m2＋3)>0.

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝.于是x1＋x2＝m(y1＋y2)+4＝.

设M为PQ的中点，则M点的坐标为
.

因为
，所以直线FT的斜率为
，其方程为
.

当
时，
，所以点的坐标为
，

此时直线OT的斜率为
，其方程为
.

将M点的坐标为
代入，得
.

解得
. ………………………………………………（8分）

（ⅱ）由（ⅰ）知T为直线
上任意一点可得，点T点的坐标为
.

于是
，

.

所以

.

当且仅当m2＋1＝，即m＝±1时，等号成立，此时取得最小值
．

故当最小时，T点的坐标是(3，1)或(3，－1)．……………………………（12分）

21. 解：（1）由
知：

当
时，函数
的单调增区间是
，单调减区间是
；

当
时，函数
的单调增区间是
，单调减区间是
； …………4分

（2）由

,

∴
，
.

故
，

∴
,

∵ 函数
在区间
上总存在极值，

∴
有两个不等实根且至少有一个在区间
内

又∵函数
是开口向上的二次函数，且
，∴
………8分

由
，∵

在
上单调递减，

所以H(t)min=H(2)=－9；∴
，由
，解得
；

综上得：
所以当在
内取值时，对于任意的
，函数
在区间
上总存在极值。 …………12分

22、解：(1)因为CD为△ABC外接圆的切线，

所以∠DCB＝∠A，由题设知
，

故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA .

因为B，E，F，C四点共圆，所以∠CFE＝∠DBC，

故∠EFA＝∠CFE＝90°.所以∠CBA＝90°，因此CA是△ABC外接圆的直径．…（5分）

连结CE，因为∠CBE＝90°，所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，由DB＝BE，有CE＝DC，又BC2＝DB·BA＝2DB2，所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.而DC2＝DB·DA＝3DB2，

故过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为
.………（10分）

23：（Ⅰ）直线的参数方程为
为参数）.……………（2分）

因为
，所以
，所以曲线
的直角坐标方程为
.

………………………………………………………………………………………（4分）

（Ⅱ）将
代入
中，得
，则

有
…………………………………………（6分）

所以
.又
，所以
，

，…（8分）

由
得
≤１，所以
.…（10分）

24.解析：（Ⅰ）当x≤-3时,原不等式化为-3x-2≥2x+4, 得x≤-3；

当-3

当
时，原不等式化为3x+2≥2x+4,得x≥2，

综上，A={x|x≤0或x≥2}.………………………………………（5分）

（Ⅱ）当x≤-2时,|2x-a|+|x+3|≥0≥2x+4成立，所以此时
.

当
时, |2x-a|+|x+3|=|2x-a|+x+3≥2x+4，得x≥a+1或x≤
,在x>-2上恒成立，得a+1≤-2. ∴a≤-3

综上，的取值范围为（-∞，-3].…………………………………（10分）