长泰一中2014/2015学年下学期期中考试高二理科数学A卷

一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，合计60分,答案用2B铅笔在机读

答题卡上填涂。)

1.a＝0是复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的(　　)．

A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2.函数
的图象如图所示，则导函数
的图象可能是(　　)．

3.在证明命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的过程：

cos4θ－sin4θ＝(cos2θ＋sin2θ)(cos2θ－sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ中应用了(　　)

A．分析法 B．综合法

C．分析法和综合法综合使用 D．间接证法

4.复数z＝ －1，在复平面内z所对应的点在(　　)

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

5.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：

按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴的根数为(　　)

A．6n－2 B．6n＋2 C． 8n－2 D．8n＋2

6.设a，b，c都大于0，则3个数：a＋，b＋，c＋的值(　　)

A．都大于2 B．至少有一个不大于2

C．都小于2 D．至少有一个不小于2

7.函数f(x)＝cos2x－2cos2的一个单调增区间是(　　)

A. B. C. D.

8.曲线y＝x2－1与x轴围成图形的面积等于(　　)

A.  B.  C． D. 1

9.已知曲线方程f(x)＝sin2x＋2ax(a∈R)，若对任意实数m，直线l：x＋y＋m＝0都不是

曲线y＝f(x)的切线，则a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B．(－∞，－1)∪(－1,0)

C．(－1,0)∪(0，＋∞) D．a∈R且a≠0，a≠－1

10.若
，则n的值可能是（ ）

A． 4 B． 5 C． 6 D． 7

11.圆柱形金属饮料罐容积一定时，它的高与底面半径的比为（ ），才能使材料最省。

A．
B．2 C．
D．3

12.已知函数
若
，则实数的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案直接写在答题卷相应位置上。)

13.已知复数z＝(3＋i)2 ，则|z|＝　　▲　　.

14.函数f(x)＝x2－2ln x的最小值为 ▲ ．

15.已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，证明不等式f(2n)>时，f(2k＋1)比f(2k)多的项数是 ▲ .

16.已知m＞0，不等式x＋≥2，x＋≥3，x＋≥4，可推广为x＋≥n＋1，

则m的值为 ▲ .

三、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分10分）已知1＋i是实系数方程x2＋ax＋b＝0的一个根.

(1)求a，b的值；

(2)试判断1－i是否是方程的根．

18.（本小题满分12分）用数学归纳法证明：

12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·.

19.（本小题满分12分）设函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)＋ax(a>0)．

(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为，求a的值．

20.（本小题满分12分） 求椭圆 ＋ ＝1围成的面积．

21.（本小题满分12分）已知是实数，函数
。

（Ⅰ）求函数
的单调区间；

（Ⅱ）求
在区间
上的最小值
的表达式。

22.（本小题满分12分）已知数列
的首项
，
，
．

（Ⅰ）求
的通项公式；

（Ⅱ）证明：对任意的
，
，
。

14-15下中高二理科数学A卷参考答案

选择题：（每题5分，共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

D

B

B

B

D

A

C

A

A

B

D



 12. D 【解析】当
时，
，有
，此时因为
，所以不等式无解；当
时，
，有
，等价于
解得
，结合前提条件得
；当
时，
，有
，此时因为
，不等式恒成立，故有
；当
时，
，有
，即
，解得
，结合前提条件得
；综上，得
.（也可用特殊值验证法）

填空题：（每题5分，共20分）

13．10 14．1 15．2k 16．nn

16.解析　x＋＝＋＋，x＋＝＋＋＋，易得其展开后各项之积为定值1，所以可猜想出x＋＝＋＋…＋＋，也满足各项乘积为定值1，于是m＝nn.

解答题（共六个小题，满分70分）

17．解：(1)∵1＋i是方程x2＋ax＋b＝0的根，

∴(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝0， 即(a＋b)＋(a＋2)i＝0.

∴∴∴a，b的值为a＝－2，b＝2 .………6分

方程为x2－2x＋2＝0， 把1－i代入方程 左边＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝－2i－2＋2i＋2＝0

显然 方程成立． ∴1－i也是方程的一个根． ………10分

18．证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝(－1)1－1×＝1，结论成立．……2分

(2)假设当n＝k时，结论成立．

即12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＝(－1)k－1·，……4分

那么当n＝k＋1时，

12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＋(－1)k(k＋1)2

＝(－1)k－1·＋(－1)k(k＋1)2

＝(－1)k·(k＋1)

＝(－1)k·

＝(－1)(k＋1)－1·.

即n＝k＋1时结论也成立．

由(1)(2)可知，对一切正整数n都有此结论成立． ……12分

19．解：　函数f(x)的定义域为(0,2)， f′(x)＝－＋a. ……2分

(1)当a＝1时，f′(x)＝，所以f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，2)．…7分

(2)当x∈(0,1]时，f′(x)＝＋a>0，

即f(x)在(0,1]上单调递增，故f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)＝a，因此a＝. …12分

解：设椭圆＋＝1围成的面积为S，椭圆在第一象限内围成图形的面积为S1，则由对称性

得S＝4S1， ……2分

在第一象限内椭圆＋＝1的方程可化为y＝，椭圆在第一象限内围成的面积为

S1＝∫0dx＝∫0dx，……5分

而∫0dx表示以5为半径的圆的面积，从而∫0dx＝π×52＝π，……10分

所以S1＝×π＝5π， 从而，S＝20 π. ……12分

21．解：（Ⅰ）函数的定义域为
，

（
）．…1分

若
，则
，
有单调递增区间
．

若
，令
，得
，当
时，
，当
时，
．

有单调递减区间
，单调递增区间
．…6分

（Ⅱ）若
，
在
上单调递增，所以
．

若
，
在
上单调递减，在
上单调递增，

所以
．

若
，
在
上单调递减，所以
．

综上所述，
…12分

22．解及证：（Ⅰ）
，
，
，…4分

又
，
是以
为首项，
为公比的等比数列．

，
．注：也可计算、猜想、数归法证之。…6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，

，原不等式成立．…12分

法二：设
，

则

，当
时，
；当
时，
，

当
时，
取得最大值
．原不等式成立．