广元市实验中学高2013级2015年春半期考试数学（文）试题

满分150分 时间120分钟

一、选择题：每小题5分，共50分。

1．数列
…中的等于（ ）

A．
B．
C．
D．

2．若命题“
”为假，且“
”为假，则（ ）

A．或为假 B．假 C．真 D．不能判断的真假

3．在△
中，“
”是“
”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．抛物线
的焦点到准线的距离是（ ）

A．
B．
C．
D．

5．有下列四个命题：

①“若
, 则
互为相反数”的逆命题；

②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若
,则
有实根”的逆否命题；

④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题；

其中真命题为（ ）

A．①② B．②③ C．①③ D．③④

6．曲线
在
处的切线平行于直线
，则
点的坐标为（ ）

A．
B．

C．
和
D．
和

7.若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为
，焦距为
，则椭圆的方程为（ ）

A．
B．
或

C．
D．
或

8．以椭圆
的顶点为顶点，离心率为的双曲线方程（ ）

A．
B．
或

C．
D．以上都不对

9．函数
的最大值为（ ）

A．
B． C．
D．

10．若函数
的图象的顶点在第四象限，则函数
的图象是（ ）

二、填空题：每小题5分，共25分.

11．命题“实数
，使得
”的否定是 .

12．曲线
在点
处的切线的方程为 .

13．已知
的图象经过点
，且在
处的切线方程是
，则
的解析式为 .

14.椭圆
上一点与椭圆的两个焦点
、
的连线互相垂直，则△
的面积为 .

15．已知
，经计算有

，推测当
时，有 .

三、解答题：共75分.写出必要的文字说明及解答过程.

16.(12分)已知命题
方程
有两个不等的正实数根；命题
方程
无实数根。若“或”为真命题，求的取值范围.

17.（12分）已知：
;

通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出的证明.

18.(12分）设函数
．

（1）求函数
的单调区间.

（2）若方程
有且仅有三个实根，求实数的取值范围.

19. (12分）在圆
上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程，指出轨迹是什么？并求出该轨迹的焦点和离心率.

20．（13分）已知函数
在
与
时都取得极值

(1)求
的值；

(2)若对
，不等式
恒成立，求的取值范围.

21．（14分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.

（1） 求椭圆C的标准方程

（2） 若直线L：y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点（A,B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点D.求证：直线L过定点，并求处该定点的坐标。

广元市实验中学

高2013级2015年春半期考试数学（文）参考答案

BBDBC CDDAA 11. x,y∈R,都有x+y≤1

12．x-ey=0 13.
14.24 15.

16.解：“或”为真命题，则为真命题，或为真命题

当为真命题时，则
，得
；

当为真命题时，则

17. 一般性的命题为

证明：

左边

所以等式成立.

18．（1）增区间（-∞,1）和（2，+∞），减区间为（1，2）

（2）
得,

19.
,椭圆，焦点为
，离心率为
.

20解：（1）

由
，
得

（2）
，函数
的单调区间如下表：





























(

极大值

(

极小值

(




，当
时，

为极大值，而
，则
为最大值，要使

恒成立，则只需要
，得
。

21：(ⅰ)由题意设椭圆的标准方程为
，由已知得：a+c=3，a-c=1，∴a=2，c=1，∴b2=a2-c2=3， ∴椭圆的标准方程为
。(ⅱ)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立
，得(3+4k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0，则
，又y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2
，因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2，0)，∴