一、选择题：（共10小题，每小题5分，共50分）

1. 在复平面内，复数
对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2. 用反证法证明命题：“如果
，那么
”时，假设的内容应是

A．
B．

C．
D．
且

3. 曲线
在点（－1，－3）处的切线方程是

A．
B．
C．
D．

4. 在下面所给图形的面积S及相应表达式中，正确的有

A．①③ B．②③ C．①④ D．③④

5. 对于非零复数
，以下有四个命题：

①
； ②
；③若
，则
；

④若
则
或a=0.则其中一定为真命题的是（ ）

A．②④ B．①③ C．①② D．③④

6. 利用数学归纳法证明
(n∈N*，且n≥2)时，第一步不等式左端是

A．
B．
C．
D．

7. 函数
，则
的值为

A.
B.
C.
D.

8. 设椭圆

的左、右焦点分别为
，以
为圆心，
（
为椭圆中心）为半径作圆
，若它与椭圆的一个交点为
，且
恰好为圆
的一条切线，则椭圆的离心率为

A．
B．
C．
D．

9. 在四棱锥
中，底面
是正方形，为
中点，若
，
，
，则

A.

B.

C.

D.

10.当
时，函数
的图象大致是

二.填空题：（5小题，每小题4分，共20分）

11.函数
的单调递增区间为_______________.

12.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，CC1中点为E，则直线AE与BC1所成的角的大小为 ．

13. 设a＝
，b＝
，c＝
，则a、b、c的大小关系为________．（按从大到小的顺序排列，否则不给分）

14.已知点
是函数
的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论
成立．运用类比思想方法可知，若点
是函数
的图象上任意不同两点，则类似地有___________________.

15. 已知
，定义
．经计算


，照此规律，则

三、解答题：（3小题，共30分）

16. （本小题10分）复数
，若
1＋z2是实数，求实数a的值.

17. （本小题10分）设函数
，其中
.①若
在
处取得极值，求常数a的值；②若
在
上不单调，求a的取值范围.

18. （本小题10分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点，E为CB1与BC1的交点.

(1)求证：DE ∥平面AC C1 A1；

(2)求直线BC1与平面DB1C所成角的正弦值.

第Ⅱ卷（共50分）

一、选择题：（2个小题，每小题5分，共10分）

19. 双曲线
的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域（不含边界），若点
在“上”区域内，则双曲线离心率的取值范围是

A．
B．
C．
D）

20. 已知数列
，
，把数列
的各项排成三角形状，如图所示．记
表示第m行，第n列的项，则
=.

A.
B.

C.
D.

二、填空题：（1个小题，共4分）

21. 设定义在D上的函数
在点
处的切线方程为
，当
时，若
在D内恒成立，则称P点为函数
的“类对称中心点”，则函数
的“类对称中心点”的坐标是__________________.

三、解答题：（3个小题，共36分）

22.（本小题12分）在四棱锥P-ABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，
，
，
．

(I)求证：BC平面PBD；

(II)问侧棱PC上是否存在异于端点的一点E，使得二面角E－BD－P的余弦值为
．若存在，试确定点E的位置；若不存在，说明理由．

23.（本小题12分）如图，直线
，抛物线
，已知点
在抛物线
上，且抛物线
上的点到直线
的距离的最小值为
．

(I)求直线
及抛物线
的方程；

(II)过点
的任一直线（不经过点）与抛物线
交于.两点，直线
与直线
相交于点
，记直线
，
，
的斜率分别为
，
，
．判断由
、
、
这三个数（可随意改变顺序）能否构成等差数列，若能构成等差数列，请证明之；若不能，请说明理由．

24.（本小题12分）已知
，
.

（Ⅰ）求函数
的最小值；

（Ⅱ）对一切
恒有
成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）当
，求证：
．

福州八中2014—2015学年第一学期期末考试

高二数学（理） 试卷参考答案及评分标准

第I卷（共100分）

18. 【解析】（本小题10分）【解析】(Ⅰ) ∵E为CB1与BC1的交点，∴E为BC1的中点，又点D是AB的中点，即DE为三角形ABC1的中位线，

∴DE ∥AC1………………………………2分

又DE平面AC C1 A1

∴DE ∥平面AC C1 A1………………………4分（用向量法酌情给分）

(Ⅱ) 直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，

∵AC2＋BC2＝AB2，

∴AC⊥BC，而由条件知，AC⊥C1C，且BC⊥C1C＝C，……………5分

因此，以CA.CB.CC1分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，

∵AC＝3，BC＝4，AA1＝4，

∴

…………………7分

设平面DB1C的法向量
＝(x0，y0，z0)，

则由
，令x0＝4，则y0＝－3，z0＝3，

∴
＝(4，－3，3)，……………………………………9分

又直线BC1与平面DB1C所成角
的正弦值即直线BC1与平面DB1C的法向量夹角的余弦值，

∴

∴直线BC1与平面DB1C所成角的正弦值为
.………………………10分

第Ⅱ卷（共50分）

选择题：（共2小题，每小试题5分，共10分）

（Ⅱ）因为
，又
且
，设
，

则

所以，
即
.……………………6分

设平面
的法向量为
，

因为
，由
，
，

得
，

令
，则可得平面
的一个法向量为
………………9分

而平面PDB的法向量即为
…………………………………………10

所以，
，

解得
或
，……………………11分

又由题意知
，故
，即点E在靠近点P的三等分处。………12分

（Ⅱ）可以构成等差数列，即
＋
＝2
……………………6分

直线
的斜率存在，设直线
的方程为
，即
，由
得
，

设点、的坐标分别为
、
，则
，
，…7分

，
，

.…9分

由
得
，
，

，…………………………11分

，即由
、
、
这三个数可构成等差数列．……………12分