东莞市2014-2015学年度第一学期高二理科数学期末考试试卷（B卷）

2014—2015学年度第一学期期末教学质量检查

高二理科数学（B卷）参考答案及评分标准

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

B

A

C

C

D

A

B

B

D



二、填空题

11.
12. 13．
　　　１４．

三、解答题

15.解：（1）∵
，

∴
，又
，…………………………………3分

∴
.……………………………………6分

（2）由
，a=7，

得c=5，…………………………………………………………………7分

∴
，

∴
，…………………………………………………………………9分

∴
……………………………10分

又
…………………………………………………………………11分

∴
.……………………………………………………………………12分

16. 解：(1)由
得
.……………………1分

当
时，
，即为真命题时，实数的取值范围是
……3分

由
得
.

所以为真时实数的取值范围是
.…………………………5分

若
为真，则
，所以实数的取值范围是
．……6分

(2) 设
，
………………………8分

是的充分不必要条件，则
…………………………………10分

所以
，所以实数的取值范围是
．………12分

17.解：设甲、乙两种蔬菜的种植面积分别为x，y亩，农场的总收益为z万元，则……1分

………① …………5分

目标函数为
， ……………6分

不等式组①等价于

可行域如图所示，……………………………9分

当目标函数对应的直线经过点M时，

目标函数取最小值. ……………………………………………………10分

解方程组

得M的坐标
，
，……………………………………12分

所以
.………………………………13分

答：分别种植甲乙两种蔬菜75亩和225亩，可使农场的总收益最大，最大收益为67.5万元.

………………………………………………………………………………14分

18. 解：（1）连接

为四棱柱，

又
为
的中点，

,

,

为平行四边形

………………4分

又

………………6分

（2）方法一：

作
,连接

则
即为所求二面角………………8分

在
中，

在
中，
,

………………14分

方法二：作
于点

以
为原点，
为轴，
为轴，
为轴建立空间坐标系，

设平面
的法向量为

显然平面
的法向量为

显然二面角为锐角，

所以平面
和平面
所成角的余弦值为
………………14分

19. 解：(1)当
时，
； ……1分

当
时，

，

两式相减得，
， ……2分

又
，……３分

所以
是首项为,公比为2的等比数列，……4分

所以
. ……6分

(2)由(1)知
，所以
，……７分

所以

，…８分

两式相减得，

所以
(或写成
或
…１０分

…１１分

是递增的，又

　　　　　　　　　　　　　　　　　　…１４分

20．解：（1）法一：

由椭圆的定义可知

……1分

由
得
……2分

故椭圆的方程是
； ……3分

法二：

由已知得，

，……1分

得
，……2分

故椭圆的方程是
； ……3分

（2）椭圆的右焦点为
，分两种情况讨论如下：

1°当直线AB的斜率不存在时，AB:
，则 CD:
．此时
，
,

； ……5分

2°当直线AB的斜率存在时，设AB :
，则 CD：
．

又设点
．

联立方程组

消去并化简得
，

所以

，

……7分

……8分

由题知，直线
的斜率为
，同理可得
……9分

所以
为定值. ……10分

(3)解：由（II）知
，

所以
……11分

， ……12分

当且仅当
，即
，即
时取等号 …13分

所以
的最小值为
. ……14分