一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求。

1. 若PQ是圆
的弦，PQ中点是（1，2），则直线PQ方程是（ ）

A.
B.

C.
D.

2. 已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′=C′O′=1，A′O′=
，那么原△ABC中∠ABC的大小是（ ）

A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°

3. 过点（2，-2）且与双曲线
有相同渐近线的双曲线的方程是（ ）

A.
B.
C.
D.

4. 设圆
的圆心为C，A（1，0）是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为（ ）

A.
B.

C.
D.

5. “方程
表示焦点在
轴上的椭圆”的充分不必要条件是（ ）

A.
B.
C.
D.

6. 若
，则
和
所表示的曲线只可能是（ ）

7. 设
是两条不同的直线，
，
是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）

A. 若
，
，则

B. 若
，

C. 若

D. 若

8. 过双曲线
的一个焦点F引它的一条渐近线的垂线，垂足为M，延长FM交
轴于E，若M为EF的中点，则双曲线的离心率为（ ）

A. 2 B.
C. 3 D.

9. 如图，在正方形
中，E，F分别是
，
的中点，D是EF的中点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个几何体，使
三点重合于点G，这样，下列五个结论：（1）SG⊥平面EFG；（2）SD⊥平面EFG；（3）GF⊥平面SEF；（4）EF⊥平面GSD；（5）GD⊥平面SEF。正确的是（ ）

A. （1）和（3） B. （2）和（5）

C. （1）和（4） D. （2）和（4）

10. 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为
，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）

A.
B.
C.
D.

11. 已知椭圆
的离心率是
，过椭圆上一点M作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，且斜率分别为
，若点A，B关于原点对称，则
的值为（ ）

A.
B.
C.
D.

12. 已知椭圆
与双曲线
有共同的焦点
（-2，0），
（2，0），椭圆的一个短轴端点为B，直线
与双曲线的一条渐近线平行，椭圆
与双曲线
的离心率分别为
，则
取值范围为（ ）

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 如图，AB是平面
的斜线段，A为斜足，若点P在平面
内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是___________（填“圆”“椭圆”“一条直线”“两条平行直线”）

14. 已知直二面角
，点
，C为垂足，
，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于___________。

15. 从双曲线
的左焦点F引圆
的切线FP交双曲线右支于点P，T为切点，M为线段PF的中点，O为原点，则
___________。

16. 已知方程
对应的曲线为C，
（-4，0），
（4，0）是与曲线C有关的两定点，下列关于曲线C的命题正确的有___________（填序号）。

（1）曲线C是以
为焦点的椭圆的一部分；

（2）曲线C关于
轴、
轴、坐标原点对称；

（3）P是曲线C上任意一点，
；

（4）P是曲线C上任意一点，
；

（5）曲线C围成的图形面积为30。

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤。

17. （10分）已知命题“
：存在
，
”是假命题，求实数
的取值范围。

18. （12分）已知一个几何体的三视图如图所示。

（1）求此几何体的表面积；

（2）如果点P，Q在正视图中所示位置：P为所在线段中点，Q为顶点，求在几何体表面上，从P点到Q点的最短路径的长。

19. （12分）已知圆
，点A（1，-3）。

（I）求过点A与圆
相切的直线
的方程；

（II）设圆
为圆
关于直线
对称的圆，则在
轴上是否存在点P，使得P到两圆的切线长之比为
？若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由。

20. （12分）如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°。

（1）求证：AC⊥平面BDE；

（2）求二面角F-BE-D的余弦值；

（3）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论。

21. （12分）如图，动点M与两定点A（-1，0），B（2，0）构成△MAB，且∠MBA=2∠MAB，设动点M的轨迹为C。（1）求轨迹C的方程；

（2）设直线
（其中
）与
轴相交于点P，与轨迹C相交于点Q，R，且
，求
的取值范围。

22. （12分）已知抛物线
的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线
交C于另一点B，交
轴的正半轴于点D，且有
|，当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形。

（1）求C的方程；

（2）若直线
，且
和C有且只有一个公共点E，

（i）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；

（ii）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由。

参考答案

19. 解析：（1）
，
，

因为点A恰在圆
上，所以点A即是切点，

，所以
，

所以，直线
的方程为
，即
；

（2）因为点A恰为
中点，所以，
，

所以，圆
，

设
，
①，或
②

由①得
，解得
或10，所以，
或（10，0），

由②得，
，求此方程无解。

综上，存在两点P（-2，0）或P（10，0）适合题意。

20.

令
，则
。

因为AC⊥平面BDE，所以
为平面BDE的法向量，
=（3，-3，0），

所以
。

因为二面角为锐角，所以二面角F-BE-D的余弦值为
。

（3）可设
，则
。

因为AM⊥平面BEF，

所以
，即
，解得
。

此时，点M坐标为（2，2，0），
，符合题意。

21.

（2）由
消去
并整理，得
（*）由题意，方程（*）有两根且均在（1，
）内，设
，

∴
解得
，且
。

∵
，∴
。

设Q，R的坐标分别为（
），（
），由
及方程（*）有
，

∴
。

由
，得
，故
的取值范围是（1，7）。

22.

由
，整理可得
，故直线AE恒过点F（1，0）。

当
时，直线AE的方程为
，过点F（1，0）。

所以直线AE过定点F（1，0）。