淮北古饶中学2013—2014学年度第二学期第一次月考高一数学试卷

时间: 120分钟 总分: 150分

一、选择题（每小题5分，满分60分。把答案填在答题纸上相应的表格中）

1．已知集合M＝{y｜y＝
，x＞0}，N＝{x｜y＝lg（2x－
）}，则M∩N为（　　　）

A．（1，2） B．（1，＋∞） C．[2，＋∞） D．[1，＋∞）

2．函数
的定义域是 ( 　 　)

A．(－，－1) B．(1，＋) C．(－1，1)∪(1，＋) D．(－，＋)

3．某学校为了了解高一年级学生对教师教学的意见，打算从高一年级2 012名学生中抽取50名进行调查，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2 012人中剔除12人，剩下2 000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的机会（ ）

（A）不全相等 （B）都相等 （C）均不相等 （D）无法确定

4.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入某个正整数n后，输出的S∈(31，72)，则n的值为（ ）

A．5

B．6

C．7

D．8

5．某班的全体学生参加消防安全知识竞赛，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数 ( )

A．45 B．50

C．55 D．60

6. 已知A(2,4)与B(3,3)关于直线l对称，则直线l的方程为 ( 　　)．

A．x＋y＝0 B．x－y＝0

C．x－y＋1＝0 D．x＋y－6＝0

7．将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个得分的平均分为91，现场做的7个得分的茎叶图（如图）后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中用表示，则x的值为 (　 　)

A．0 B．4 C．5 D．7

8． 有3人排成一排，甲、乙两人不相邻的概率是 (　 　)

A. B. C. D.

9. 若
，则
的大小关系为 （ ）

A．
<
<
B．
<
<
C．
<
<
D．
<
<

10．一个多面体的直观图、主视图、左视图、俯视图如下，
、
分别为
、
的中点.



下列结论中正确的个数有 （ ）

①直线
与
相交. ②
. ③
//平面
.

④三棱锥
的体积为
.

A.4个 B.3个 C.2个 D.1个

二、.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置。

11．
．

12． 过点
且垂直于直线
的直线的方程为 ．

13．某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1∶2∶1，用分层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从3个分厂生产的电子产品中共抽取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980 h,1020 h,1032 h，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为_______h.

14．有2个人在一座7层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则这2个人在不同层离开的概率为__________．

15．定义在实数集R上的函数
，如果存在函数
（A、B为常数），使得
对一切实数都成立，那么称
为函数
的一个承托函数。给出如下四个结论：

①对于给定的函数
，其承托函数可能不存在，也可能有无数个；

②定义域和值域都是R的函数
不存在承托函数；

③
为函数
的一个承托函数；

④
为函数
的一个承托函数。

其中所有正确结论的序号是____________________.

三．解答题;本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的答题区域内.

（本小题满分12分） 箱子里有3双不同的手套，随机拿出2只，记事件A表示“拿出的手套配不成对”；事件B表示“拿出的都是同一只手上的手套”.

（1）请列出所有的基本事件；

（2）分别求事件A、事件B的概率.

17．（本小题满分12分） 某化肥厂有甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，称其重量（单位：kg）,分别记录抽查数据如下：

甲：102,101,99,98,103,98,99；

乙：110,115,90,85,75,115,110.

（1）这种抽样方法是哪一种方法？

（2）试计算甲、乙车间产品重量的平均数与方差，并说明哪个车间产品较稳定？

18.（本题满分12分）

如图，在三棱柱
中，侧棱
底面
,

为
的中点,
.

(1) 求证：
平面
；

(2) 若
，求三棱锥
的体积.

19．（本题满分13分）已知圆
的方程:

（1）求m的取值范围；

（2）若圆C与直线
相交于
,
两点，且
,求的值

（3）若圆C与直线x＋2y－4＝0相交于M、N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，

求m的值；

20. (本小题满分13分)某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：

该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验。

（Ⅰ）求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；

若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线

性回归方程
；

（Ⅲ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？

21.（本小题满分13分）已知函数

．

（1）当
时，判断
在
的单调性，并用定义证明．

（2）若对任意
，不等式
恒成立，求的取值范围；

（3）讨论
零点的个数．

参考答案

一、选择题（每小题5分，满分60分。）

1．A 2．C 3．B 4. B 5．D 6. C 7．A 8．C 9. D 10．B

二、.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置。

11．
12．
13．1013 14．
15． ①③

三．解答题;本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的答题区域内.

16.（本小题满分12分）．解：（1）分别设3双手套为：a1a2;b1b2;c1c2.a1，b1，c1分别代表左手手套，a2，b2，c2分别代表右手手套.

从箱子里的3双不同的手套中，随机拿出2只，所有的基本事件是：

（a1,a2），（a1,b1），（a1,b2），（a1,c1），（a1,c2）;

（a2,b1），（a2,b2），（a2,c1），（a2,c2）;

（b1,b2），（b1,c1），（b1,c2）;

（b2,c1），（b2,c2）;

（c1,c2）.共15个基本事件.

①事件A包含12个基本事件，故
（或能配对的只有3个基本事件，
）；

②事件B包含6个基本事件，故
；

17． （本小题满分12分）

（1）甲、乙两组数据间隔相同，所以采用的方法是系统抽样.

（2）甲=
（102+101+99+98+103+98+99）=100，

乙=
（110+115+90+85+75+115+110）=100，

=
（4+1+1+4+9+4+1）≈3.428 57，

=
（100+225+100+225+625+225+100）=228.57，

∴
＜
,故甲车间产品比较稳定.

18.证明:（1）连接
,设
与
相交于点
,连接
. …………1分

∵ 四边形
是平行四边形,∴点
为
的中点.

∵为
的中点，∴
为△
的中位线,

∴
. …………4分

∵
平面
,
平面
,

∴
平面
. ………… 6分

解:（2）∵三棱柱
，∴侧棱
，

又∵
底面
，∴侧棱
，

故
为三棱锥
的高，
， …………8分

…………10分

…………12分

19．(本小题满分13分)

解：（1）(1)方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0，可化为

(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，

∵此方程表示圆，

∴5－m＞0，即m＜5.

(2) 圆的方程化为
，圆心 C（1，2），半径
，

则圆心C（1，2）到直线
的距离为

由于
，则
，有
，

得
.

（3）



消去x得(4－2y)2＋y2－2×(4－2y)－4y＋m＝0，

化简得5y2－16y＋m＋8＝0.

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则



由OM⊥ON得y1y2＋x1x2＝0

即y1y2＋(4－2y1)(4－2y2)＝0，

∴16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0.

将①②两式代入上式得

16－8×＋5×＝0，

解之得m＝

20.(本小题满分13分)

解 （1）设抽到相邻两个月的数据为事件A因为从6组数据中选取2组数据共有
中情况，每种情况都是等可能出现的其中，抽到相邻两个月的数据的情况有5种

所以

（Ⅱ）由数据求得

由公式求得

再由

所以y关于x的线性回归方程为

（Ⅲ）当
时，

同样，当
时，

所以，该小组所得线性回归方程是理想的

21．（本小题满分13分）．解析：（1）当
，且
时，
是单调递减的.

证明：设
，则

又
，所以
，
，

所以
所以
，即
，

故当
时，
在
上单调递减的．

（2）由
得
，

变形为
，即

而
，

当
即
时
，

所以
．

（3）由
可得
，变为

令

作
的图像及直线
，由图像可得：

当
或
时，
有1个零点．

当
或
或
时，
有2个零点；

当
或
时，
有3个零点．