题 号

一

二

三

总 分









14

15

16

17

18





得 分



















一、选择题（本大题共7个小题，每小题6分，共42分）

题 号

1

2

3

4

5

6

7



答 案

















1．在△ABC中，∠C=90°，∠B的平分线交AC于D．则
=：

A．
B．
C．
D．

2．在分别标有号码2，3，4，…，10的9张卡片中，随机取出两张卡片，记下

它们的标号，则较大标号被较小标号整除的概率是：

A．
B．
C．
D．

3．已知梯形ABCD的四个顶点的坐标分别为
，
，
，
，直线
将梯形分成面积相等的两部分，则k的值为：

A．
B．
C．
D．

4．如图，三个全等的正方形内接于圆，正方形的边长为16，则圆的半径为：

A．
B．
C．
D．

5．若自然数使得作竖式加法
时均不产生进位现象，便

称为“好数”．如因为12+13+14不产生进位现象，所以12是“好数”；但

13+14+15产生进位现象，所以13不是“好数”，则不超过100的“好数”共有:

A．9个 B．11个 C．12个 D．15个

6．函数
的图象与轴的交点个数是：

A．4 B．3 C．1 D．0

7．已知实数、
满足
，则
的最大值为：

A．50 B．45 C．40 D．10

二、填空题（本大题共6个小题，每小题7分，共42分）

8．已知关于x的方程
有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是

9．函数
的最小值为 ．

10．如图，点A、C都在函数
的图象上，点B、D都在

轴上，且使得△OAB、△BCD都是等边三角形，则点D的坐标

为 ．

11．若实数、
分别满足
，
，则
的值为 .

12．二次函数
的图象如图所示，
是图象上的一点，且
，则

的值为 ．

13．将两个相似比为：
的等腰直角三角形如图①放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合．绕点旋转小直角三角形，使它的斜边与
交于点，
的延长线与
交于点，如图②．若
，则
= .

三、解答题（本大题共5个小题，计66分，写出必要的推算或演算步骤）

14．（本题12分）一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车．问再过多少分钟，货车追上了客车？

15．（本题12分）已知
为整数，给出如下三个关于方程：

①
②
③

若方程①有两个相等的实数根，方程②③有且仅有一个方程有两个不相等的实数根，求
的值．

16．（本题14分）已知如图，抛物线
与x轴相交于B（
，0）、C（
，0） (

均大于0)两点, 与y轴的正半轴相交于A点. 过A、B、C三点的⊙P与y轴相切于点A，其面积为
.

（1）请确定抛物线的解析式；

（2）M为y轴负半轴上的一个动点，直线MB交⊙P于点D．若△AOB与以A、B、D为顶点的三角形相似，求MB?MD的值．（先画出符合题意的示意图再求解）．

17．（本题14分）如图，已知菱形ABCD，∠B=60°．△ADC内一点M满足∠AMC=120°，若直线BA与CM交于点，直线BC与AM交于点Q，求证：P、D、Q三点共线．

18．（本题14分）某寄宿制学校的一间宿舍里住着若干名学生，其中一人担任舍长．元旦时，该宿舍里的每名学生互赠一张贺卡，且每人又赠给宿舍楼的每位管理员一张贺卡，每位管理员也回赠舍长一张贺卡，这样共用去了51张贺卡，问这间宿舍里住有多少名学生？

芜湖一中2013年高一自主招生考试

数学参考答案

一、选择题（本大题共7个小题，每小题6分，共42分）

二、填空题（本大题共6个小题，每小题7分，共42分）

三、解答题（本大题共5个小题，计66分，写出必要的推算或演算步骤）

15．解：依题意得

或
……4分

由（1）得
代入（2）、（3）得
或无解………………7分

又m，n为整数，
或

当
时，
；当
时，
（舍）

，

则
………… …12分

16．（1）解：根据题意知：圆半径PA=
，取BC中点为E，连接PB，PE，则

且PB=PA=
，PO=OA=2，由勾股定理和圆性质知：

BE=CE=

从而知：
…………………………………………………………3分

将B，C两点坐标代入抛物线方程，可得：

抛物线的解析式是：
……………………………………6分

②∠BAD和∠AOB对应，此时BD是⊙P的直径，所以直线MB过P点

∵B（1，0），P（

∴直线MB的解析式是：

∴M点的坐标为（0，
）

∴ AM=
由△MAB∽△MDA 得MA：MD=MB：MA

∴MB·MD=MA2=
………………………………………………14分



18．解：这间宿舍住着名学生，名管理员
，

由题意得
， ………………………………………………………4分

化简得
，

则
，

∵
，∴必为完全平方数． ………………………………………………………6分

设
，

则
，

其中
和
具有相同的奇偶性，且
，

∴
① 或
② 或
③ …10分

由方程组①得
，不合题意，舍去；

由方程组②得
，此时，原方程为
，解得
（舍去）；

由方程组③得
，此时，原方程为
，解得
（舍去）；

综上所述，
．

答：这间宿舍里住有6名学生．…………………………………………………………14分