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简单的绝对值不等式与一元二次不等式的解法

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简单的绝对值不等式与一元二次不等式的解法

教学过程：

一、学习目标

二、例题示范

五、课堂小结

三、要点总结

四、反馈练习

简单的绝对值不等式与一元二次不等式的解法

学习目标

1、理解|ax+b|＞c,|ax＋b|＜c,(c＞0)型

不等式的概念，并掌握它们的解法；

2、了解二次函数、一元二次不等式及

一元二次方程三者之间的联系，掌握

一元二次不等式的解法。

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简单的绝对值不等式与一元二次不等式的解法

例1、已知集合A＝｛x｜｜x｜＜1｝，B＝

｛x｜｜5－2x｜＞5｝，则A∩B＝ 。

例题示范

解：由题意可知，集合A是不等式｜x｜＜1的解集，又

由｜x｜＜1 ?－1＜x＜1有：A＝（－1，1）

同理，可求B＝（－∞，0）∪（5，＋∞） 。

（如图）

（如图）

所以A∩B＝｛x｜－1＜x＜0｝。

结 论

解 答

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到要点

简单的绝对值不等式与一元二次不等式的解法

例题示范

例2、已知集合A＝｛x｜｜x－1｜＜c, c＞0｝，B＝

｛x｜｜x－3｜＞4｝，且A∩B≠?，求c的范围。

解：由题意可知，集合A是不等式｜x－1｜＜c 的解

集，又 由｜x－1｜＜c （c＞0） ?1－c＜x＜1＋c有：A＝（1－c，1＋c）， 同理，可求B＝（－∞，－1）∪（7，＋∞） 。

（如图）

x

动 画

由上图可知，要A∩B≠?,即要有:

1－c＜－1 或 1＋c＞7 ?c＞2 或 c＞6 ? c＞2

所以c的范围为c＞2 。

结 论

到思考

练 习

简单的绝对值不等式与一元二次不等式的解法

例3、已知集合A＝｛x｜x2－5x＋4≤0｝，B＝｛x｜x2－5x＋6≥0｝，则A∩B＝ 。

例题示范

解：由题意可知，集合A是不等式x2－5x＋4≤0 的解集，又 其对应的二次函数f(x)= x2－5x＋4 的图象如下 (与x 轴的两个交点的横坐标为其对应的方程x2－5x＋4＝0 的两个根），要函数值不大于零，即取图象在 x 轴上或 x 轴下方的部分所对应的 x 的取值范围，故集合A＝［1，4］； 同理可求B＝（－∞，2］∪［3，＋∞） 。所以有：A∩B＝｛x|1≤x≤2或3≤x≤4｝

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到要点

｛x|1≤x≤2或3≤x≤4｝

简单的绝对值不等式与一元二次不等式的解法

要点总结

1、 |ax+b|＞c (c＞0) ? ax+b＞c 或 ax+b＜－c

|ax+b|＜c (c＞0) ? －c ＜ax+b ＜ c

（还要根据 a 的取值进行讨论）。

2、ax2+bx+c ＞0 ( a＞0 ) 及ax2+bx+c ＜0 ( a＞0 ) 的解集的情况。

要点1

要点2

到例2

简单的绝对值不等式与一元二次不等式的解法

设f(x)=ax2+bx+c　(a＞0),且设方程f(x)=0在△＞0是的

两个根分别是x1、x2，且x1＜x2。

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练 习

简单的绝对值不等式与一元二次不等式的解法

设f(x)=ax2+bx+c　(a＞0),且设方程f(x)=0在△＞0时的

两个根分别是x1、x2，且x1＜x2。

练 习

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简单的绝对值不等式与一元二次不等式的解法

设f(x)=ax2+bx+c　(a＞0),且设方程f(x)=0在△＞0时的

两个根分别是x1、x2，且x1＜x2。

练 习

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简单的绝对值不等式与一元二次不等式的解法

设f(x)=ax2+bx+c　(a＞0),且设方程f(x)=0在△＞0时的

两个根分别是x1、x2，且x1＜x2。

练 习

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简单的绝对值不等式与一元二次不等式的解法

设f(x)=ax2+bx+c　(a＞0),且设方程f(x)=0在△＞0时的

两个根分别是x1、x2，且x1＜x2。

练 习

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简单的绝对值不等式与一元二次不等式的解法

设f(x)=ax2+bx+c　(a＞0),且设方程f(x)=0在△＞0时的

两个根分别是x1、x2，且x1＜x2。

练 习

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简单的绝对值不等式与一元二次不等式的解法

设f(x)=ax2+bx+c　(a＞0),且设方程f(x)=0在△＞0时的

两个根分别是x1、x2，且x1＜x2。

练 习

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简单的绝对值不等式与一元二次不等式的解法

设f(x)=ax2+bx+c　(a＞0),且设方程f(x)=0在△＞0时的

两个根分别是x1、x2，且x1＜x2。

练 习

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简单的绝对值不等式与一元二次不等式的解法

反馈练习

练习1、已知集合A＝｛x｜｜x－1｜＜1｝，B＝

｛x｜x(x－2) ＜0｝，则A∪B＝ 。

｛x｜0＜x＜2｝

到例3

练习2、 若不等式ax2+bx+2＞0的解集为

｛x｜－1／2＜x＜1／3｝，则a＝　　，b＝ 。

练习2

到 表

练习3、 (1998年高考题)设a≠b，解关于x 的不等式：

a2x+b2(1－x）≥［a x＋b（1－x）］2 。

练习3

－12

－2

思考题

课堂小结

思考题

练习3、 (1998年高考题)设a≠b，解关于x 的不等式：

a2x+b2(1－x）≥［a x＋b（1－x）］2 。

解：∴ a2x+b2(1－x)≥［a x＋b(1－x)］2

?a2x+b2－b2x ≥ a2x+b2(1－x)2 +2abx (1－x)

? (a2+b2－2ab) x2 － (a2－b2+2b2－2ab) x ≤0

?（a－b)2(x2－x) ≤0

又∵ a≠b，∴ （a－b)2 ＞ 0

故由（a－b)2(x2－x) ≤0

? x2－x ≤0

? x (x－1) ≤0

见右图有:

所求不等式的解集为: {x｜0 ≤x ≤1}

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课堂小结

可解集合 A＝[2m , m2+1]

B＝｛x｜(x－2)[x －(3m+1)]≤0，x∈R｝

简单的绝对值不等式与一元二次不等式的解法

思考题:

课堂小结

已知集合A＝｛x｜｜x－(m＋1)2／2｜≤(m－1)2／2｝，

B＝｛x｜x2－3(x＋1)x + 2(3m+1)≤0，x∈R｝，若 A ? B，求实数m的取值范围。

分析:

?

集合 B 的解集究竟是什么？

是［2，3m+1]还是［3m+1,2]?如何处理？

要A ? B，又如何处理？

到例2

简单的绝对值不等式与一元二次不等式的解法

课堂小结

1、熟悉|ax+b|＞c,|ax＋b|＞c,(c＞0)型不等式的概念，并掌握它们的解法；

2、熟悉二次函数、一元二次不等式及一元二次方程三者之间的联系，并能运用它们之间的联系，数形结合，熟练一元二次不等式的解法。

3、借助数轴进行集合间的运算。

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再见