以下为课件内提取的文本内容，仅供参考：

问题： 一架救援机从A地出发进行救援任务，之后必须回到B地加油，已知飞机一次最多能飞行500公里，而AB两地相距200公里，问这架飞机能够救援到的区域是怎样的？

．

P

．

P

．

P

．

P

．

P

|PA|+|PB|=500

|AB|=200

定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a(>|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离2c叫做椭圆的焦距

椭圆的定义和标准方程

求方程的过程:

解(1)建系：以F1F2所在的直线为x轴，以线段F1F2的中垂线为y轴建立直角坐标系,则有两焦点坐标分别为：F1(-c,0),F2(c,o)

(2)设点p(x,y)是椭圆上一点,如图：根据已知有：

|PF1|+|PF2| =2a

这个椭圆的一个标准方程为：

( a>b>0,

a2=b2+c2)

求方程的过程:

解(1)建系：以F1F2所在的直线为y轴，以线段F1F2的中垂线为x轴建立直角坐标系,则有两焦点坐标分别为：F1(0 , -c),F2(0,c )

(2)设点p(x,y)是椭圆上一点,如图：根据已知有：

|PF1|+|PF2| =2a

这个椭圆的标准方程为：

( a>b>0,a2=b2+c2)

椭圆的标准方程

椭圆的几何性质:( )

1.范围:

|x|≤a

|y|≤b

椭圆位于直线x=±a

和直线y=±b所围成的矩形区域内

2.对称性：

关于x轴和y轴对称，

也关于原点中心对称

A1

椭圆的几何性质:( )

A1

A2

A1

B2

B1

3.顶点和长短轴：

长轴：A1A2

短轴：B1B2

顶点：

A1(-a ,0)

A2(a,0)

B1(0,-b)

B2(0 ,b)

4.离心率：

椭圆的第二定义:已知点M(x,y)到定点F(c,0)的距离和它到定直线 的距离的比为常数 (a>c>0)，求点M的轨迹方程

(这个方程是椭圆的一个标准方程，称这个定点F是椭圆的一个焦点，定直线是椭圆的一条准线，比值叫这个椭圆的离心率)

结论：椭圆有两条和它的 两个焦点相对应的准线

F1

结论：椭圆有两条和它的两个焦点相对应的准线

与F2对应的准线方程：

与F1对应的准线方程：

例1：求椭圆4x2+y2=2的准线方程

椭圆的焦点在y轴上，

且a2=2, b2=0.5,c2=1.5

椭圆的两条准线方程为

解：由已知有椭圆的标准方程为

ex1: 椭圆的一个焦点到相应准 线的距离为 ，离心率为 ，则椭圆的短轴长为多少？

eg1:椭圆9x2+25y2-225=0上一点到左准线的距离为2.5,则P到右焦点的距离是( )

(A) 8 (B) (c) 7.5 (D) 7

椭圆的性质的应用：

eg2:椭圆 的右焦点为F，设点A ,P是椭圆上一动点，求使 取得最小值时的P的坐标，并求出这个最小值

问题：平面内到两个定点F1，F2的距离的差是定值||PF1|-|PF2||=2a的点P的轨迹是什么？

(1)若这个定值为0，它表示什么？

(2)若这个定值=|F1F2|，它表示什么？

(3)若这个定值>|F1F2|，它表示什么？

(4)若这个定值非零且<|F1F2|,它表示什么？

当差值为0时，即|PF1|=|PF2|时：

P

．

轨迹是线段F1F2的中垂线

．

当|PF1|-|PF2|=|F1F2|时:或|PF2|-|PF1|=|F1F2|时:

轨迹是分别以F1和F2为端点的两条射线

（可不可能）？

．

P?

当|PF1|-|PF2|的绝对值>|F1F2|

不可能，因为在三角形中，两边之差小于第三边

理想化的问题：

一个出租汽车司机想从A地点送一个乘客到达目的地后，然后返回B点的家，已知A、B两点的距离为20公里假设司机送客和返回家都是直线行驶，假设汽车每行驶一公里耗费一元，乘客每乘坐一公里付费二元，请问这个司机怎样考虑接受乘客的目的地，他才可能至少能收益15元？

（假设不考虑职业道德）

分析：为了把问题简单化，我们先研究

司机刚好只收益15元的情形

2|PA|-(|PA|+|PB|)=|PA|-|PB|=15

（注意: |PA|-|PB|=15<|AB|=20）

你会替司机出个主意了吗？

（要求: |PA|-|PB|=15且|AB|=20）

|PA|-|PB|>15时呢？

定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a(<|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线。这两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两个焦点的距离叫做双曲线的焦距2c。(o

双曲线的定义

？：如果定义中没有“绝对值”这三个字，还是双曲线吗？

双曲线的标准方程的求法：

为了体现双曲线的对称美，和我们研究数学的由简单到复杂的思维规律，我们也选择对称的建系方式，称如下建系所得的双曲线方程为双曲线的标准方程：

解:第(1)步：如图：以F1F2所在直线为x轴，以线段F1F2的中垂线为y轴，建立直角坐标系,则点F1和点F2的坐标分别为(-c,0)、(c,0)

第(2)步：设点P(x,y)双曲线上的任意一点，则有:

|PF1|-|PF2|=±2a

(3)由|PF1|-|PF2|=±2a和两点间的距离公式得：

这就是焦点在x轴上的双曲线的标准方程

焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么？

焦点在x轴上的双曲线 的标准方程是：

同理：焦点在y轴上的双曲线的标准方程是：

注：a2=c2 - b2

结论：

例1 已知两个定点的坐标分别是F1(-5,0),F2(5,0)求到这两点的距离的差的绝对值为6的点的轨迹方程

例2 已知一个动圆过点A(2,0),并且和一个定圆(x+2)2+y2=4相切,求这个动圆的圆心的轨迹方程

双曲线的标准方程中的几个参量：

例3.判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三个量a,b,c的值。

①

②

③

再请你指出各自的顶点和焦点坐标

证明：设m,n>0,则有：

和

有公共的焦点，它们的实轴长和虚轴长正好对换

和

有公共的渐进线，它们的实轴和虚轴正好对换。我们称它们为共轭双曲线

例4：请判断以下方程表示什么样的曲线？并指出它们的焦点在哪个坐标轴上。

双曲线的渐近线方程练习：

例5.求出下列双曲线的渐近线的方程。

①

②

③

与双曲线的渐近线有关的结论：

(1)求双曲线 的渐近线方

程时，只需将上式右边的1换成0即可

(2)双曲线 表示任意以

为渐近线的双曲线系

(k≠0)

双曲线的渐近线方程：

例：双曲线的中心在原点，对称轴是两坐标轴，有一条渐近线方程为2x+3y=0,并且过定点(2 ,2)求这个双曲线的方程

.(2,2)

解法一：如图,双曲线的两条渐近线把坐标平面分成四部分，点(2,2)刚好在上部分，故有这条双曲线的焦点在y轴上，设它的标准方程为

由双曲线的标准方程为知它的渐近线方程为：

又已知点(2，2)在双曲线上，则有：

故所求的双曲线的方程为：

解2：据题意：双曲线的渐近线方程为：

证明：双曲线 上任一点到它的两渐近线的距离之积为定值，并求这个定值。

证明：由已知，它的渐近线方程为

它们的标准方程为 bx±ay=0

设(x0,y0)是双曲线上的任意一点，则有：

.

.

. p

示意：如图，过点P向两条渐近线引垂线交两条渐近线于点M、N，则有：

M

N

问题：|PM|+|PN|有最值吗？何时有，是多少？

.

.

. p

M

N

已知双曲线 右支上一点P到它的右焦点的距离为10，则P到双曲线的左准线的距离是多少？

回顾:椭圆的焦点半经公式及求法：

分析：如图，过点P向两准线引垂线交两准线于点M、N，根据双曲线的第二定义：

同理：

同理：

当焦点在y轴上时：

|PF1|=a+ey

|PF2|=a-ey

如下图提示：你能推出焦点在x轴上的双曲线的焦半经公式吗？

若它的焦点在x轴上，则有|PF1|、|PF2|为ex±a

若它的焦点在y轴上呢？

则有|PF1|、|PF2|为ey±a

双曲线中三角形PF1F2中的边和角

正弦定理、余弦定理、和三角形面积公式在图中的体现及相互间的联系。

(1)余弦定理：

(2)正弦定理：

(3)三角形的面积公式：

圆锥曲线的统一定义

平面内到定点的距离和到定直线的距离的比是定值e的点的轨迹是：

(1)当0

(2)当 e>1 时表示一个双曲线

(3)当 e=1 时表示什么呢？

平面内到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹叫抛物线

至此，椭圆、双曲线、抛物线的定义就统一起来了，这三种曲线统称为圆锥曲线。

平面内到定点的距离和它到定直线的距离相等的点的轨迹叫抛物线

抛物线的标准方程：

以后我们约定这个定点到定直线的距离为P

K

讨论：

怎样建立坐标系所得方程简单？

建系方式一：

以后我们约定这个定点到定直线的距离为P

讨论：

怎样建立坐标系所得方程简单？

O

x

y

设点M(x,y)是所求的曲线上的任意一点，过点M作MD垂直直线L交L于点D，则有根据定义有：|MD|=|MF|

.M(x,y)

D

……

它叫抛物线的一种标准方程

它的焦点坐标和准线方程是？

抛物线的标准方程有四种：

请分别画出它们的草图，并指出它们的焦点坐标、

准线方程

你还记得上式中P的几何含义吗？

焦点的坐标为：

准线的方程为

焦点的坐标为：

准线的方程为

焦点的坐标为：

准线的方程为

焦点的坐标为：

准线的方程为

例1:(1)已知抛物线的焦点坐标是

F(0,-2),求它的标准方程

(2)已知抛物线的标准方程为 y=x2,求它的焦点坐标和准线方程

例2：探照灯的反射镜的纵截面是抛物线的一部分，灯口的直经为60cm，灯深为40cm，求抛物线的标准方程和焦点的位置。

.F

O

x

y

A

B

抛物线的几何性质：

(1)范围：(一)(二)(三)(四)

(2)对称轴及顶点(一)(二)(三)(四)

(3)离心率

抛物线的离心率恒为1

抛物线的焦半径公式:

(一)(二)(三)(四)

设M(x,y)是以下抛物线上的任意一点，F是抛物线的焦点，则焦半经EF的长度为：

当抛物线的方程为y2=2px时,则|MF|=

当抛物线的方程为y2=-2px时,则|MF|=

当抛物线的方程为x2=2py时,则|MF|=

当抛物线的方程为x2=-2py时,则|MF|=

例3：过抛物线y2=2px的焦点F任意作一条直线交抛物线于A、B两点，求证：以A、B为直经的圆和这个抛物线的准线相切。

A

B

?

M

过抛物线y2=2px的焦点F的弦长公式：设直线AB与抛物线的对称轴的夹角为θ，则有

.F

O

x

y

A

B

?

特殊情形：当θ=90°，即AB和对称轴垂直时：

|AB|=2|AF|=2p

此时称线段AB为抛物线的通经

联立方程：

?

还有新的方法：

设A、B两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2, y2)

例4：过抛物线y2=2px的焦点的一条直线与抛物线的两个交点的横坐标分别是x1、x2,纵坐标分别是y1、y2,求证:

分析：当直线的斜率不存在时，

当直线的斜率存在时。

例5：PQ是过抛物线的焦点的一条弦，通过点P和抛物线的顶点的直线交准线于点M，求证：直线MQ平行于抛物线的对称轴

分析：

不妨设抛物线的标准方程为y2=2px

设点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为

下面只需证：ym=y2

(x2,y2),而且易知点M的横坐标为

又因为点P、O、M在一条直线上，则有：

ym=y2

即MP垂直于这条抛物线的对称轴

测试：

(1)求过点A(-2, -4)的抛物线的标准方程

(2)过抛物线y2=4x的焦点的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，如果x1+x2=6,求|AB|的长。

直线和抛物线的交点的个数：

请你讨论一下过点(-1,0)的直线和抛物线y2=6x的交点个数，并得出相应的结论所对应的直线的斜率的范围

讨论双曲线 和直线y=kx+m(k≠0)的交点的个数，（利用图形和解析式的结合）

思考：直线 l与椭圆相交于P、Q两点，且线段PQ的中点为M，如下图试用这P、Q点的坐标表示(1)直线l的斜率k，(2)直线OM的斜率kOM(3)|PQ|

·

o

x

·

·

M(x0,y0)

Q(x2,y2)

P(x1,y1)

y

例2：在面积为1的⊿PMN中，tgM= ,tgN= -2,建立适当的坐标系，求出以M、N为焦点且过P点的椭圆方程。(93.理)