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向量在立体几何中的简单运用

上塘中学 吕永吹

共线向量定理: 对空间任意两个向量a,b(b≠0)a//b的充要条件是存在实数λ使a=λb

共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,则向量p与向量a,b共面的充要条件是存在实数对x,y使p=xa+yb

例1 如图棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1，E、F、G分别是DD1、BD、BB1之中点。（1）求证EF⊥CF（2） 、 所成角的余弦

A

D

C

B

A1

D1

B1

C1

F

G

E

x

z

y

A

D

C

B

A1

D1

B1

C1

M

N

例2 在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，面ABCD，

面ADD1A1为正方形,点M、N分别是AD1，BD上的点

,

1）用向量 ,

表示

2）用基向量 , ,

表示

3）证明MN//平面DC1

且

m

n

a

a

l

l

α

β

例3 如图 , ,

用向量方法证明

∩

a

证明：在l，a上取l，a。分别在α ， β 内作与a不共线的向量m，n（如图）...l//α l// β... l=x1a+y1m l=x2a+y2n...(X1-x2)a+y1m-y2n=0又... a, m, n不共面... X1=x2, y1=y2=0 ... l=x1a又... l与a不重合 ... l//a

A

D

C

B

A1

D1

B1

C1

练习：如图所示，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面是边长为a的菱形且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°

1）求证：CC1⊥BD

2）当

的值为多少时能使A1C⊥平面C1BD,并证明之。

向量为我们解决立体几何问题提供了有力的工具，以后在遇到几何体中的夹角、距离、垂直、平行问题时要善于将其中转化为向量的夹角、模、垂直、平行问题，利用向量进行解决，它的实质就是形到数的转换过程，也是数形结合思想的体现。