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不等式的性质

学习要求：

1.能够推导不等式的性质.

2.掌握不等式的性质.

3.能够熟练应用不等式的性质解决有关问题.

一. 复习

不等式的基本原理及含义

a - b > 0 <=> a > b

a - b = 0 <=> a = b

a - b < 0 <=> a < b

四大作用:

(1) 比较两个实数的大小，(2) 推导不等式的性质，(3) 不等式的证明，(4) 解不等式的主要依据

比较大小的步骤:

分三步进行：①作差；②变形；③定号.

练习题

1. 已知 x≠0 , 比较 (x2 +2)2 与 x4+x2 +4的大小.

2.比较 (x2 +2)2 与 5x2 +2的大小

3. 比较 x3 与 x2-x + 1的大小.

小结

变形是关键：

1°变形常用手段:配方法，因式分解法

2°变形常见形式是：变形为常数；一个常数与几个平方和；几个因式的积

比较实数的大小一般步骤：

作差－变形－判断符号

二.不等式的性质

性质1 a>b <=> b

性质2 a>b , b>c => a>c

推论 a a

性质3 a>b <=> a+c>b+c

推论1 a+b>c <=> a>c-b

推论2 a>b , c>d => a+c>b+d

对称性

传递性

可加性

移项法则

加法法则

注意双向箭头与单向箭头

性质4 (1) a>b , c>0 => ac>bc

(2) a>b , c<0 => ac

推论1 a>b>0 , c>d>0 => ac>bd

推论2 a>b>0 =>an > bn

(n∈N , n＞1)

可乘性

乘法法则

乘方法则

性质5 a>b>0 =>

(n∈N , n>1)

开方法则

注: 反证法

三. 不等式除了书上给出的一些性质外，另有两个常用结论

⑴　倒数不等式—倒数法则：

若ab > 0 , 则 a > b

　　　　 a < b 　

　　 a < x < b 　　

1/a < 1/b

1/a > 1/b

1/b < 1/x < 1/a

简记：“同号取倒反向”

⑵平方不等式——平方法则：

若 a , b > 0 , 则 a > b

b < x < a

若 a , b < 0 , 则 a > b

b < x < a

若 a > 0 , b < 0,

则 b < x < a

a2 > b2

b2< x2< a2

a2 < b2

a2 < x2 < b2

0≤x2 < max(a2,b2)

例1 如果 a > b > 0, a + b=1, 试比较 b与 a2+b2的大小。

练习题

1、若-1 < a < b < 0,试把 1/a , 1/b , a2 , b2 从小到大排起来.

2、若6 < a < 8, 2 < b < 3,分别求a+b , a – b , b/a 的取值范围.

3、若 a>b , g<0 . 则 g (a-c)

4. 若 a>b>0 , c e/(b-d)

四. 小结: 不等式的十大性质与法则

对称性

传递性

可加性

可乘性

移项法则

加法法则

乘法法则

乘方法则

开方法则

倒数法则

五.课外作业

课本 P5练习1，2，3 、 P15练习4

例2 已知 a , a+2 , a+4 是一个钝角三角形的三边之长，求a的取值范围。

解： 由题意：

∴ 2 < a < 6

故所求a的取值范围为 a ∈(2 , 6)