高中数学难点解析

难点26 垂直与平行

垂直与平行是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解线面平行与垂直、面面平行与垂直的判定与性质，并能利用它们解决一些问题.

●难点磁场

(★★★★)已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，A1C1=B1C1=2，D、D1分别是AB、A1B1的中点，平面A1ABB1⊥平面A1B1C1，异面直线AB1和C1B互相垂直.

(1)求证：AB1⊥C1D1；

(2)求证：AB1⊥面A1CD；

(3)若AB1=3，求直线AC与平面A1CD所成的角.

●案例探究

［例1］两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN，求证：MN∥平面BCE.

命题意图：本题主要考查线面平行的判定，面面平行的判定与性质，以及一些平面几何的知识，属★★★★级题目.

知识依托：解决本题的关键在于找出面内的一条直线和该平面外的一条直线平行，即线(内)∥线(外)
线(外)∥面.或转化为证两个平面平行.

错解分析：证法二中要证线面平行，通过转化证两个平面平行，正确的找出MN所在平面是一个关键.

技巧与方法：证法一利用线面平行的判定来证明.证法二采用转化思想，通过证面面平行来证线面平行.

证法一：作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足，则MP∥AB，NQ∥AB.

∴MP∥NQ，又AM=NF，AC=BF，

∴MC=NB，∠MCP=∠NBQ=45°

∴Rt△MCP≌Rt△NBQ

∴MP=NQ,故四边形MPQN为平行四边形

∴MN∥PQ

∵PQ
平面BCE，MN在平面BCE外，

∴MN∥平面BCE.

证法二：如图过M作MH⊥AB于H，则MH∥BC，

∴

连结NH，由BF=AC，FN=AM，得

∴MN∥平面BCE.

［例2］在斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC.

(1)若D是BC的中点，求证：AD⊥CC1；

(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM=MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C；

(3)AM=MA1是截面MBC1⊥平面BB1C1C的充要条件吗？请你叙述判断理由.

命题意图：本题主要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质，属★★★★★级题目.

知识依托：线面垂直、面面垂直的判定与性质.

错解分析：(3)