单位圆在三角函数中的教学功能探析

　　单位圆在三角函数中的教学功能探析

　　教学功能一．三角函数“单位圆定义法”与原教材“终边定义法”之比较

　　从数学史看，“终边定义法”源自三角学（锐角三角函数），锐角三角函数是研究三角形各种几何量之间的关系而发展起来的。但是，任意角三角函数是研究现实中的周期现象而发展起来的。所以作为任意角三角函数的定义，当然是选择能够表现周期性的单位圆更为恰当。

　　P(x,y)是角 的终边与单位圆的交点,定义sin =y等，这样的 点是以 为周期的，即正弦以 为周期。所以，用单位圆定义更能体现任意角三角函数的本质——周期性。

　　教学功能二．单位圆中理解弧度制

　　采用弧度制度量角，就是用圆的半径来度量角，当此圆为单位圆时，由扇形弧长公式知，在单位圆中，角度 就是弧长 。

　　这样，就可以把三角函数中自变量与函数值之间的对应关系理解为：把实数轴想象为一条柔软的细线，原点固定在单位点A（1，0），数轴的正半轴逆时针缠绕在单位圆上，负半轴顺时针缠绕在单位圆上，那么数轴上的任意一个实数（点Q）??就是被缠绕到单位圆上的点P(cos?，sin?)。

　　教学功能三． “同角三角函数的基本关系”中的公式推导和应用（求值、证明）

　　1．公式推导:关系式一“ ”，即 中

　　的勾股定理“ ”。关系式二“ ”，即相似三角形比式“ ”。

　　2．求值：已知 ，求 、 的值。

　　3．求证： 。即证 ，即证 ，

　　而此式是 中的射影定理。（?在其它位置同理可得）

　　教学功能四．诱导公式的推导

　　例如，观察三角函数线可知， 与 的正弦线相等，余弦相反。

　　教学功能五．利用正弦函数线作正弦曲线

　　此处，新老课程都采用同样的方法，将单位圆十二等份，然后平移出十二条正弦线，连接十二个平移出的P点，得 的图象。实际上，此法仍是描点作图。

　　教学功能六．三角函数的性质

　　在单位园中，当角 的终边绕原点从 的正半轴开始，按照逆时针方向旋转时，

　　自变量 的终边按照0→ → → → →…的规律周而复始变化着，

　　正弦线 按照 0→1→0→–1→0→…的规律周而复始变化着，

　　余弦线 按照1→0→–1→0→1→…的规律周而复始变化着，

　　正切线 按照 0→ →0→ →0→…的规律周而复始变化着，

　　由上述规律，可得性质：周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值、定义域、值域。

　　教学功能七.它解题功能

　　主要功能：等式与不等式、比较大小。

　　1．由于单位圆中弧长 ，易知当 时，

　　。三者唯一的交点是原点。

　　2．解不等式组

　　3．利用单位圆中的三角函数线易解以下不等式： 、 、

　　、 （也可将式子加号变减号），等等。诸如 与0、 1的大小关系。

　　从这个角度来看，新课程或许在告诉我们，可以将三角函数统一在单位圆与三角函数线之下，让学生理解知识的来龙去脉、推导过程，最主要的是使学生学会用联系的观点看三角函数，数形结合地研究三角函数的定义、公式、图象与性质，明白单位圆与三角函数线可以研究什么问题、怎样研究这些问题，动态地分析问题。